摘要
我们研究了$2$-Wasserstein度量中的几个约束变分问题，其中满足约束的概率密度集是不封闭的。例如，给定$\mathbb{R}^d$上的概率密度$F_0$和时间步长$h>0$，我们寻求最小化$I（F）=hS（F）+W_2^2（F_0，F。我们证明了极小值的存在性。我们还分析了满足方差和均值约束的密度集的诱导几何，并确定了其上的所有测地线。由此，我们确定了诱导几何中泛函凸性的判据。例如，结果表明，熵在约束流形上是一致严格凸的，但在没有约束的情况下不是一致凸的。这里解决的问题是在研究用变分方法构造和研究非线性动力学福克-普朗克方程解的过程中出现的，本文对此进行了简要描述，并在一篇配套论文中作了充分发展。
