实枚举几何中带实临界点的有理函数与B.和M.夏皮罗猜想

摘要

假设给定了$d$维复射影空间中有理正规曲面$z\mapsto（1:z:\ldots:z^d）$的$2d-2$切线。众所周知，与所有这些线相交的余维$2$子空间的数目总是有限的；对于通用配置，它等于$d^{\mathrm{th}$Catalan数字。我们证明了对于实切线，所有这些余维$2$子空间也是实的，从而证实了B.和M.Shapiro的一般猜想的一个特例。这相当于以下结果：

如果有理函数的所有临界点都位于黎曼球体中的一个圆上（例如，在实线上），则该函数将该圆映射为一个圆。