摘要
设$G$是可分局部紧群，$Z$是包含在$G$中心的闭子群，使得中心$（G）/Z$是紧的。如果表示空间$\mathfrak{G}（\pi）$中存在非零向量$\varphi$，$\psi$，则$G$的不可约酉表示$\pi$称为平方可积mod$Z$（或$G$离散序列的成员），其中$dg$是$G/Z}的正确Haar度量。
Harish-Chandra、J.Wolf和C.C.Moore解决了半单李群和具有离散级数的连通、单连通幂零李群的分类问题。在本文中，我们将考虑另一类自由基是连通的李群，自由基是相连的单连通幂零李群，单连通幂幂零李群（称为$U$-群）的问题。因此，设$G$是一个连通的$U$-群，$N$是它的根，$S$是$G$的一个极大连通半单子群。除了对$S$的一些技术要求外，还将证明$G$具有离散序列，当且仅当：
（A） $N$的中心是$G$中心标识的连接组件，并且
（B） $N$和$S$都有离散序列。此外，$G$离散序列的每一个成员都可以写成$S$离散序列成员的“张量积”，并用$G$的不可约表示将其平凡地扩展到$N$，而对$N$的限制是$N$离散序列中的一个成员。最后，还描述了确定具有离散序列的$U$-群作为更简单$U$-groups的连续扩展的算法。
大致来说，Mackey的群扩张理论（[10]）将通过归纳法来解决这个问题。因此，设$H$是$G$的闭正规交换子群，$\pi$是$G的不可约表示。如果$\pi|_H$由关于$\hat{H}$中$G$的动作的传递准序定义，然后$\pi$由该轨道确定的稳定子群$G_0$的一些不可约表示导出。这里，$H$是阿贝尔的假设是必要的，以便可以成功地应用$H$上的傅里叶分析将$G$的离散序列的存在性与$G_0$s的离散序列相关联。此外，为了进行归纳论证，必须选择$G$所属的李群类，使得$G_0$保持在同一类中。幸运的是，由于[1]中对某些半简单线性代数群的开轨道对应的稳定子群的结构的描述，将证明$U$-群的类满足上述所有要求。因此，我们的计划可能会完全执行。
第一节回顾了关于平方可积表示和群扩张表示理论的一些事实。定理1.3对于证明主要结果至关重要。第二节描述了与某些半单线性群的开轨道相对应的$U$-群和稳定子群的结构，第三节用于确定某些特殊李群的平方可积表示，这些李群的根与海森堡群同构。第4节的定理4.4和4.5给出了正在考虑的问题的解决方案。最后，第5节给出了定理4.4和4.5的条件不成立的离散序列李群的一个例子。
带下划线的小写字母$\underline{g}、\underline{h}、\ underline}、\sdots$表示李群$g$、$h$、$z、\cdots$的李代数。交换局部紧$H$的字符组用$\hat H$表示，$\hatH$的子群由$H$闭子群$Z$上的所有平凡字符组成，用$（H/Z）^\ast$表示。类似地，实向量空间$V$的对偶用$V^\ast$表示，$V^\st$的子空间由$V$上的所有线性形式组成，在$V$中的某个子空间$W$上消失，用$（V/W）^\ast$。
局部紧群$G$的模函数用$\Delta_G（\cdot）$表示。$G$的表示$\pi$的表示空间由$\mathfrak{G}（\pi）$表示。最后，除了欧氏空间的自然标量积之外，所有的希尔伯特空间标量积都用$（\cdot\colon\cdot）$表示，没有任何索引。上下文将明确标量积在哪个希尔伯特空间中。
作者对河内理工学院数学系帮助编写这篇文章表示感谢。他还要感谢裁判提出了许多有益的建议，特别是对2.3号提案的简短证明。
