动机
小波理论是一个高度先进的交叉学科研究领域，它从纯数学延伸到非常实用的工程。它已被证明对应用数学和工程非常有用，例如，图像处理（JPEG 2000）、脑电图和心电图分析、DNA分析、气候学、语音识别、计算机视觉等。，而且在纯数学中也是如此。在其创始人中，数学家英格丽德·道贝奇斯（来自林堡）和伊夫·梅耶（Yves Meyer）在数学的许多领域都做出了重大的理论贡献，特别是在调和分析和偏微分方程理论（PDE理论）方面，这是本研究项目的重点。Daubechies和Meyer的结果的重要性反映在他们获得的众多著名奖项中，例如美国数学学会斯蒂尔奖（Daubechines）、国家科学院数学奖（Daobechies）和阿贝尔奖（Meyer）。
FWO高级研究拨款G022821N：非交换小波分析
4年期项目：2021年1月1日至2024年12月31日
资金价值：€446,968
荷兰语网页:FWO-onderzoeks项目：Niet-交换小波分析
在本研究项目中，我们致力于推进小波理论及其在数学分析中的应用，特别是在非对易环境下，即欧氏空间R^n中经典理论之外的Calderón-Zygmund算子和伪微分算子。我们关注的重点是将Daubechies和Meyer的作品与Elias Stein（最初来自安特卫普）、Charles Fefferman（菲尔兹奖得主）和Gerald Folland的调和分析和PDE理论的基本结果联系起来。具体地说，我们计划将他们在调和分析和PDE理论中的一些基本结果用于分级李群的设置。该研究项目分为三个部分：
第一部分：小波框架和函数空间
在这里，我们着重于在分层李群的设置之外建立一个关于分级李群的小波理论。一方面，分级李群上的Rockland算子理论对于按照Lemarie的多分辨率方法[Lem89]的精神提供小波正交基的具体示例至关重要，另一方面，对于Führ和Mayeli[FM12]中方便的框架生成小波的存在也至关重要。与R^n一样，在应用中提供双框架是小波分子系统的小波框架特别重要。对于不可分级的齐次李群，即那些不允许正Rockland算子的齐次李群，需要开发全新的策略。这方面的任何进展都将大大加深我们对齐李群调和分析的理解。
第二部分： Calderón-Zygmund算子及其正则性
第二部分主要围绕Meyer的作品展开，但一方面重点关注Hytönen的最新结果，另一方面也关注Frazier和Jawerth对Hörmander乘数定理的基于小波的证明。已经建立了T（1）-定理在齐次李群中的推广。一些分析依赖于Hardy空间H1及其对偶空间BMO在齐次李群上的机制，如经典专著Folland和Stein[FS82]、Calderón-Zygmund算子在齐次群上的机理，如专著Fischer和Ruzhansky[FR16]。可以提到，Calderón-Zygmund算子在从𝐻^1到𝐿^1和从𝐿^1的分次李群上的有界性^最近在Cardona、Delgado和Ruzhansky[CDR19]中通过（非小波方法）在伪微分算子的特殊情况下建立了BMO的{\infity}：事实上，这是Fefferman关于Hardy空间和𝐿p空间上伪微分算子有界性的更尖锐结果[Fef73]的成功推广。
第三部分：非交换Weyl量子化
虽然伪微分算子的分析为小波的使用提供了巨大的潜力，但Gabor框架是研究R^n上微分和伪微分算子演化方程的合适工具（参见例如[CTW13，CNR15]）。关于幂零群，特别是正交基和框架的“广义时频分析”的最新进展（参见[GR18，Ous18，Ows19，GRRV19]），将框架理论的工具与伪微分算子的非对易技术联系起来。
参考文献：
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