https://zbmath.org/atom/cc/55U 2024-06-14T15:52:26.737412Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1534.03022 2024-06-14T15:52:26.737412Z “Hötzel Escardó，马汀” https://zbmath.org/authors/？q=ai:hotzel-伊斯卡多·马丁 摘要：我们证明了同伦类型或（infty）-群胚的Cantor-Schröder-Bernstein定理以以下形式成立：对于任何两种类型，如果每一种类型嵌入到另一种类型中，那么它们是等价的。该论证是用同伦类型理论或沃沃德斯基的单价基础（HoTT/UF）的语言发展而来的，需要经典逻辑。因此，该定理适用于任何布尔拓扑。 https://zbmath.org/1534.18002 2024-06-14T15:52:26.737412Z “怀特，大卫” https://zbmath.org/authors/？q=ai:white.david “你，唐纳德” https://zbmath.org/authors/？q=ai:yau.donald-年 设（mathcal{M}）是对称单体闭范畴。Hovey关于Smith思想的工作确立了对于一个指向的（相对稳定的）模型范畴，余核和核在\（mathcal{M}）箭头范畴上的两个对称单体闭结构之间形成一个Quillen附加（相对Quillen等价），即推出积单体结构\（overrightarrow{mathcal{M}}^{\平方}\）和张量积一元结构\（\超右箭头{\mathcal{M}}^{\otimes}\）。\（overrightarrow{mathcal{M}}^{square}\）中的幺半群是Smith理想，\（overlightarrow{mathcal{M}{{otimes}\）里的幺半是幺半态射。Hovey还证明了在相同的假设下，Smith理想和幺半态射之间存在Quillen附加（对应Quillen等价）。由于幺半群是结合操作数上的代数，一个自然的问题是代数相对于其他操作数是否存在满意的Smith理想理论。本文的目的是将Hovey的工作推广到单体模型范畴中一般运算的Smith理想。对于操作数\（\mathcal{O}\），作者将Smith\（\mathcal{0}\）-理想定义为箭头类别\（\overrightarrow{\mathcal{O}}^{\square}\）中相关操作数\上的代数。然后，主要定理可以表述如下。假设\（\mathcal{M}\）是一个足够好的稳定单体模型范畴，\（\mathcal{O}\）则是一个在\（\mathcal{M}\）中操作的\（\athfrak{C}\）-有色操作，使得共纤维Smith\（\methcal{O}）-理想也是具有投射模型结构的\（\ mathcal}\）箭头范畴中的入口共纤维。然后在Smith（mathcal{O}）-理想和由余核和核诱导的（mathcal{O}-）-代数映射之间存在Quillen等价。这种奎伦等价性适用于交换操作数和全（Sigma）共纤维操作数的对称谱。对于特征为零的域上的链复数和稳定模范畴，这种奎伦等价性适用于所有操作数。本文最后比较了半模型范畴方法和（infty）范畴方法对不一定允许的（Sigma）-余fibrant操作数上的代数同伦理论进行编码。审查人：Philippe Gaucher（巴黎） https://zbmath.org/1534.18007 2024-06-14T15:52:26.737412Z “迈克尔·巴塔宁” https://zbmath.org/authors/？q=ai:batanin.michael-一个 “怀特，大卫” https://zbmath.org/authors/？q=ai:white.david-e|white.david-w|white.avid-r|white.david-p|white.gavid-g|white.lavid-j|white.javid-allyn|white.mavid|white-david-h 一个模型范畴\（\mathcal{M}\）相对于一类态射\（\mathcal{C}\）的左Bousfield局部化是范畴\（\ mathcal}M}）上的一个模型结构\（L_{mathcal}C}}（\mathcal{M{）\），其中\（\mathcal{C}\）中的态射包含在\（L_，而恒等函子\（id:\mathcal{M}\rightarrowL_{\mathcal{C}}（\mathca{M}）\）对于任何模型范畴\（\mathcal{N}\），任何左Quillen函子\盐酸{C}}（\mathcal{M}）\）。通常，要证明\（L_｛\mathcal｛C｝｝｝（\mathcal｛M｝）\）存在，需要\（\mathcal｛C｝）是一个集合，并且\（\mathcal｛M｝）是左固有的和细胞的[\textit｛P.S.Hirschhorn｝，模型类别及其本地化。普罗维登斯，RI：美国数学学会（AMS）（2003；Zbl 1017.55001）]或左固有的和组合的[\textit｛C。Barwick}，同调同伦应用。12、编号2、245--320（2010；Zbl 1243.18025）；\textit{T.Beke}，数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.129，No.3，447--475（2000；Zbl 0964.55018）]。本文证明，即使没有左属性，（L_{mathcal{C}}（\mathcal}M}）仍然作为半模型范畴存在[\textit{M.Spitzweck}，模型范畴和动机中的操作数、代数和模。波恩：波恩大学。Mathematisch-Naturwissenschaftliche-Fakultät（论文）（2001；Zbl 1103.18300）]，满足半模型范畴的泛性质。论文摘要如下。\开始{itemize}\项目[\S2]回顾了关于半模型categoreis和关于左Boufield本地化的定义和有用结果。\项目[\S 3]建立了史密斯定理的以下版本[\textit{C.Barwick}，同伦同伦应用12，No.2，245--320（2010；Zbl 1243.18025）；\textit}T.Beke}，Math.Proc.Camb.Philos.Soc.129，No.3，447--475（2000，Zbl 0964.55018）]。定理3.1。假设\（\mathcal{M}\）是一个局部可表示范畴，具有一个弱等价类\（\mathcal{W}\）和一组遵循\开始{itemize}\项目[（1）]具有余纤维域的弱等价类是可及的。\项目[（2）]类\（\mathcal{W}\）在retracts和三取二属性下关闭。\任何态射（inj（I））都是弱等价的。\项目[（4）]在平凡fibrations类中，具有余纤域的同态在推出到任意余纤对象和超限合成下是闭合的。\[（5）]（I）的态射具有共纤维结构域。\结束{itemize}然后在\（mathcal{M}\）上有一个共纤维生成的半模型结构，它生成共纤维\（I\），生成平凡共纤维\。此外，生成的平凡余纤维（J）具有余纤维域。\第[\S4]项利用上述定理建立了本文的以下主要结果。定理4.2和4.3。假设\（mathcal{M}\）是一个组合半模型范畴，其生成余纤维具有余纤维域，并且\（mathcal{C}\）为\（matchal{M{）的一组态射。然后，在（mathcal{M}）上有一个半模型结构（L_{mathcal{C}}），它的弱等价是（mathcal}C}）-局部等价，它的余纤维与（mathcal{M}\）相同，它的fibrant对象是（mathcal{C{）-本地对象。此外，（L_{mathcal{C}}（mathcal{M}\右箭头\mathcal{N}\）。\第[\S5]项提供了定理A的无数应用，其中大多数是未能正确保留的模型类别。作者以\textit｛V.Voevodsky｝[J.\（K\）-Theory 5，No.2201-244（2010；Zbl 1194.55021）]为例开始，然后讨论了主要应用程序[\textit｛M.Batanin｝和\textit｛D.White｝，Trans.Am.Math.Soc.375，No.503569-3640（2022；Zbl 1486.18015）]。最后，他们探索了操作数、谱/稳定、（弱）富集范畴和Goodwillie演算在代数范畴中的应用。\结束{itemize}审查人：Hirokazu Nishimura（筑波）