亚历山大·克劳 具有大围长和小Cop数的图。 arXiv:2306.00220 预印本，arXiv:2306.00220[math.CO]（2023）。 小结：在本文中，我们考虑没有或很少有短圈的图的cop数。我们证明了当（G）的周长至少为（7）且最小度足够大时，（delta\geq（ln{n}）^{frac{1}{1-\alpha}}）其中（alpha\in（0,1）），则（c（G）=o（ndelta^{1-\lfloor\frac{G}{4}\floor}）为（n\rightarrow\infty）。这扩展了Frankl的工作，并意味着如果（G）在（delta\geqn^{frac{2+o（1）}{G-1}}）的意义上大而密，同时也有围长（G\geq7\），那么（G）满足Meyniel猜想，即（c（G）=o（sqrt{n}）。此外，它还暗示，如果（G）在某些（epsilon>0）中存在（delta\geqn^{epsilon}）的意义上是大而密的，同时也有周长（G\geq7），那么存在一个（alpha>0），使得（c（G）=O（n^{1-\alpha}），从而满足弱Meyniel猜想。当然，这意味着对于具有小圈数（O（n^{1-\alpha}））的稠密图也有类似的结果，因为每个圈可以通过添加一个cop来打破。我们还证明了存在具有围长（G）和最小度（delta）的图，使得cop数最多为（o（G（delta-1）^{（1+o（1）））。这解决了Bradshaw、Hosseini、Mohar和Stacho最近的一个猜想，表明常数（frac{1}{4}）在下限（c（G）geq\frac{1}}{G}（delta-1）^{floor\frac{G-1}{4]的指数中无法改进。 MSC公司： 05第57页 图形游戏（图形理论方面） 05C48号 扩展器图形 05年40月 极值组合中的概率方法，包括多项式方法（组合Nullstellensatz等） BibTeX公司 引用 \textit{A.Clow}，“大围长小Cop数图形”，预打印，arXiv:2306.00220[math.CO]（2023） 全文： arXiv公司 OA许可证 arXiv数据来自arXiv OAI-PMH API.如果你发现了错误，请直接向arXiv报告.