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托内蒂，Caio Henrique Segawa;多斯桑托斯、维尼修斯·费尔南德斯;塞巴斯蒂安·乌鲁蒂亚

齿图上符号交换问题的多项式时间算法。 （英语） Zbl 07831923号

RAIRO，运营。物件。 58，第1号，441-455（2024）.
概要：重构框架对组合对象在各种操作和约束下的转换概念进行了建模。当谈到重新配置挑战时，重要的问题是连通性、直径和距离，可以从很多方面考虑和限制这些问题。这项工作的重点是令牌交换问题，这是一个甚至在系统研究重新配置框架之前就有变化的重新配置问题。在这个问题中，目标是将图的顶点上的初始令牌放置转换为具有最少交换操作数的目标令牌放置。本文的主要结果是构造了阈值图和后续有向图的多项式算法。

理学硕士：

05C85号 图形算法（图形理论方面）
05C75号 图族的结构特征
68周05 非数值算法
第68季度25 算法和问题复杂性分析
68兰特 计算机科学中的图论（包括图形绘制）

关键词：

重新配置问题;令牌交换问题
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.H.S.Tonetti}等人，RAIRO，Oper。第58号决议，第1号，441--455（2024；Zbl 07831923）
全文： 内政部

参考文献：

[1] 引理4.12。让𝐺是具有初始标记位置的有向图𝑓 0 . 然后，OPT𝐺 (完0 ) ≥ |𝑉 (𝐺)| -|CS 1（重心𝑓0）|+|CS 0（重心𝑓0 )| -2 × |𝜇(𝐻)|.
[2] 证明。让𝑝(𝐺, 𝑓 ) = |𝑉 (𝐺)| -|CS 1（重心𝑓 )| + |CS 0（重心𝑓 )| -2 × |𝜇(𝐻)|. 请注意𝑝(𝐺，𝐺）=0保持不变。在下面，我们展示了任何可能的交换转换𝑓 进入相邻配置ḟ 无法减小的值𝑝(𝐺, 𝑓 ) 在1以上。那就是，𝑝(𝐺, ḟ ) ≥ 𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1.以下情况包括所有可能的顶点拆分交换𝑢 和𝑣 在给定配置上-分线盒-1。让𝑢 和𝑣 属于同一周期𝐶 ∈ 客户满意度1。此标记交换将原始循环分解为两个顶点不相交的循环𝐶 𝑢 和𝐶 𝑣 . 假设𝑢 ∈ 𝑉 (𝐶 𝑢 ) 和𝑣 ∈ 𝑉 (𝐶 𝑣 ).
[3] 案例A.如果𝐶 𝑢 ∈ CS 1和𝐶 𝑣 ∈ CS 1，|CS 1|的值增加为1，匹配的大小𝜇(𝐻）不变，如图所示𝐻 未修改，导致𝑝(𝐺, ḟ ) = 𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1;
[4] 案例B.如果𝐶 𝑢 ∈ CS 0和𝐶 𝑣 ∈ CS 1或如果𝐶 𝑢 ∈ CS 1和∈𝑣∈CS 0，|CS 0|的值增加1，增加中的顶点数𝐻 一个。根据引理4.10，匹配最多可以增加一个单位，从而𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1 ≤ 𝑝(𝐺, ḟ ) ≤ 𝑝(𝐺, 𝑓 ) + 1;
[5] 案例C.如果𝐶 𝑢 ∈ CS 0和𝐶 𝑣 ∈ CS 0，|CS 0|的值增加2，|CS 1|减少1，增加了中的顶点数𝐻 两个之间有保证的额外边缘𝐶 𝑢 和𝐶 𝑣 作为LCA CG(𝐺) (𝑉 (𝐶 𝑢 ∪ 𝐶 𝑣 )) 是一个1节点。然后|𝜇(𝐻)| 增加至少1，通过引理4.10，增加最多2，导致𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1 ≤ 𝑝(𝐺，ḟ）≤𝑝(𝐺, 𝑓 ) + 1
[6] -壳体SPLIT-0。让𝑢 和𝑣 属于同一个循环𝐶 ∈ CS 0。此标记交换将原始循环分解为两个顶点不相交的循环𝐶 𝑢 和𝐶 𝑣 . 假设𝑢 ∈ 𝑉 (𝐶 𝑢 ) 和𝑣 ∈ 𝑉 (𝐶 𝑣 ).
[7] 案例A.Let𝐶 𝑢 , 𝐶 𝑣 ∈ 客户满意度1。如引理4.5所述，这种情况是不可能的。
[8] 案例B.如果𝐶 𝑢 ∈ CS 0和𝐶 𝑣 ∈ CS 1或如果𝐶 𝑢 ∈ CS 1和𝐶 𝑣 ∈ CS 0，则|CS 1|的值增加一，且|CS 0|不变。在不失一般性的情况下，假设𝐶 𝑢 ∈ CS 0和𝐶 𝑣 ∈ 客户满意度1。根据引理4.4，LCA CG(𝐺) (𝑉 (𝐶 𝑢 )) = LCA-CG公司(𝐺) (𝑉 (𝐶)), 不更改图形𝐻，导致𝑝(𝐺, ḟ ) = 𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1;
[9] 案例C.如果𝐶 𝑢 ∈ CS 0和𝐶 𝑣 ∈ CS 0，则|CS 0|的值增加1，且|CS 1|不变。根据引理4.4𝐶 𝑢 或𝐶 𝑣 与循环具有相同的最低共同祖先𝐶. 该循环引入𝐻 与对应的顶点具有相同邻域的顶点𝐶 正在被删除。然后，在实践中，正好添加了一个新顶点𝐻. 引理4.10表明，在这种情况下，最大匹配最多可以增加一个，从而导致𝑝(𝐺，（）-1 ≤ 𝑝(𝐺, ḟ ) ≤ 𝑝(𝐺, 𝑓 ) + 1.在这种情况下，不需要检查合并掉期，因为每个掉期都是拆分掉期的逆掉期。这意味着前面的方程和不等式具有反转的正负信号。没有方程或不等式显示并增加大于1，因此合并掉期不能减少𝑝(𝐺，（）超过1。通过上述分析，可以得出任何代币掉期都会减少的结论𝑝(𝐺, 𝑓 ) 对于任何代币放置，最多一个𝑓 并获得：𝑝(𝐺, ḟ ) ≥ 𝑝(𝐺, 𝑓 ) -1
[10] 因此，对于任何交换序列𝑆 = (𝑠 1 , 𝑠 2 , . . . , 𝑠 𝑘 ) 转换初始配置𝑓 0到标识配置𝑓 𝑖 通过相邻配置𝑓 1 , 𝑓 2 , . . . , 𝑓 𝑘 = 𝑓 𝑖 , 对于每对配置𝑝(𝐺, 𝑓 𝑗+1 ) ≥ 𝑝(𝐺, 𝑓 𝑗 ) -1保持不变。取这些不等式之和∑︀ 𝑗 𝑝(𝐺, 𝑓 𝑗+1）≥𝑝(𝐺, 𝑓 𝑗 ) -1我们得到：𝑝(𝐺，𝐺
[11] ≥ 𝑝(𝐺, 𝑓 0 ) -1
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