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马蒂亚斯·克里斯坦德;富尔维奥·盖斯蒙多;杰罗·祖伊达姆

张量子秩中的一个缺口。 （英语） Zbl 07777559号

SIAM J.应用。代数几何。 7，第4号，742-767（2023）.
摘要：张量的子秩是衡量张量可以“对角化”多少的一个尺度V.斯特拉森[J.Reine Angew.数学.384，102–152（1988；Zbl 0631.68033号)]研究代数复杂性理论中的快速矩阵乘法算法，与许多中心张量参数（如切片秩、分区秩、解析秩、几何秩、g-稳定秩）以及组合学、计算机科学和量子信息理论中的问题密切相关。V.Strassen【见上述引文】证明了在张量积下取大幂时，子秩中存在一个缺口：要么所有幂的子秩至多是一，要么它作为严格大于一的常数的幂增长。在本文中，我们精确地确定了任意阶张量的这个常数。此外，对于三阶张量，我们证明了可能的增长率中存在第二个缺口。我们的成果加强了S.科斯塔和达赖先生[J.Comb.Theory，Ser.A 177，文章ID 105335，12 p.（2021；Zbl 1451.15016号)]他证明了在切片排名上的类似差距。我们关于子秩的定理具有更广泛的应用，因为它不仅对切片秩，而且对任何“归一化单调”都暗示了这样的间隙。为了证明主要结果，我们刻画了张量在其轨道闭合中具有非常结构化的张量（W张量）的情况。我们的方法包括格拉斯曼人的退化，这可能是独立的兴趣。

理学硕士：

15A69号 多线性代数，张量演算
15A03号 向量空间、线性相关性、秩、线性性
14号07 正割变种、张量秩、幂和变种
15A72号 向量和张量代数，不变量理论

关键词：

子等级;渐近子秩;张量变性

引文：

Zbl 0631.68033号;Zbl 1451.15016号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Christandl}等人，SIAM J.Appl。代数几何。7，编号4，742--767（2023；Zbl 07777559）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Blasiak，J.、Church，T.、Cohn，H.、Grochow，J.A.、Naslund，E.、Sawin，W.F.和Umans，C.，《关于帽集和矩阵乘法的群理论方法》，《离散分析》。，（2017），3，doi:10.19086/da.1245·Zbl 1405.65058号
[2] Briöt，J.、Christandl，M.、Leigh，I.、Shpilka，A.和Zuiddam，J.，渐近张量秩的离散性，预印本，arXiv:2306.017182023。
[3] Bürgisser，P.、Clausen，M.和Shokrollahi，M.A.，代数复杂性理论，Springer，Berlin，1997，doi:10.1007/978-3662-03338-8·Zbl 1087.68568号
[4] Blatter，A.、Draisma，J.和Rupniewski，F.，有限域上的张量限制定理，预印本，arXiv:2211.23192022。
[5] Bik，A.，《无限张量的强度和Noetherianity》，博士论文，伯尔尼大学，瑞士伯尔尼，2020年，https://boristheses.unibe.ch/id/eprint/2031。
[6] Buczyñski，J.和Landsberg，J.M.，张量秩和割线簇的推广，线性代数应用。，438（2013），第668-689页，doi:10.1016/j.laa.2012.05.001·兹比尔1268.15024
[7] Cayley，A.，《线性变换理论》，剑桥数学。J.，iv（1845），第193-209页。
[8] Costa，S.和Dalai，M.，《（k）张量切片秩的缺口》，J.Combin。A、 177（2021），105335，doi:10.1016/j.jcta.2020.105335·Zbl 1451.15016号
[9] Christandl，M.、Fawzi，O.、Ta，H.和Zuiddam，J.，张量的对称子秩及其应用，预印本，arXiv:2104.011302021。
[10] Chang，C.-Y.，最大边界子秩张量，预印本，arXiv:2208.042812022。
[11] Croot，E.，Lev，V.F.和Pach，P.P.，《数学年鉴》中的无进位集是指数小的。（2） ，185（2017），第331-337页，doi:10.4007/annals.2017.185.1.7·Zbl 1425.11019号
[12] Christandl，M.、Vrana，P.和Zuiddam，J.，《图张量的渐近张量秩：超越矩阵乘法，计算》。《复杂性》，28（2019），第57-111页，doi:10.1007/s00037-018-0172-8·兹比尔1415.65098
[13] Christandl，M.、Vrana，P.和Zuiddam，J.，张量渐近谱中的普适点，J.Amer。数学。Soc.，36（2023），第31-79页，doi:10.1090/jams/996·Zbl 1500.15020号
[14] Derksen，H.，张量和帽集问题的G-稳定秩，代数数论，16（2022），第1071-1097页，doi:10.2140/ant.2022.16.1071·兹比尔1505.15023
[15] Derksen，H.，Makam，V.，and Zuiddam，J.，《子秩与标量乘法到一般张量的最优约简》，第37届计算复杂性会议（CCC 2022），2022年，第9:1-9:23页，doi:10.4230/LIPIcs。CCC.2022.9。
[16] Draisma，J.，多项式函子的拓扑Noetherianity，J.Amer。数学。Soc.，32（2019），第691-707页，doi:10.1090/jams/923·兹伯利1439.13044
[17] Ellenberg，J.S.和Gijswijt，D.，《关于没有三项算术级数的大型子集》，数学年鉴。（2） ，185（2017），第339-343页，doi:10.4007/annals.2017.185.1.8·Zbl 1425.11020号
[18] 甘特马赫，F.R.，《矩阵理论》，第2卷，切尔西出版社，纽约，1959年·Zbl 0085.01001号
[19] Geng，R.，《几何秩和线性决定簇》，《欧洲数学杂志》。，9（2023），23，doi:10.1007/s40879-023-00615-2·Zbl 1520.15016号
[20] Gesmundo，F.、Oneto，A.和Ventura，E.，通过同时秩对Comon问题的部分对称变体，SIAM J.Math。分析。申请。，40（2019年），第1453-1477页，doi:10.1137/18M1225422·Zbl 1428.15024号
[21] Gowers，W.T.和Wolf，J.，（mathbf{F}^n_p）上函数的线性形式和高次均匀性，Geom。功能。分析。，21（2011），第36-69页，doi:10.1007/s00039-010-0106-3·Zbl 1262.11012号
[22] ndo，F.和Zuiddam，J.，《3-张量子秩中的下一个缺口》，预印本，arXiv:2307.061152023。
[23] Hilbert，D.，über die vollen不变量系统，数学。《年鉴》，42（1893），第313-373页。
[24] Harrow，A.W.和Montanaro，A.，《测试产品状态，量子Merlin-Arthur对策和张量优化》，J.ACM，60（2013），第1-43页，doi:10.1145/2432622.2432625·Zbl 1281.68112号
[25] Hell，P.和Nesetril，J.，《图形和同态》，牛津大学出版社，牛津，2004年·Zbl 1062.05139号
[26] Holtz，O.和Sturmfels，B.，《对称主子系之间的超确定性关系》，《J.代数》，316（2007），第634-648页，doi:10.1016/J.jalgebra.2007.01.39·Zbl 1130.15005号
[27] Karam，T.，《高阶张量的高阶未成年人》，预印本，arXiv:2207.08030，2022年。
[28] Kopparty，S.、Moshkovitz，G.和Zuiddam，J.，张量的几何秩和矩阵乘法的子秩，第35届计算复杂性会议（CCC 2020），2020年，doi:10.4230/LIPIcs。CCC.2020.35号文件·Zbl 07561763号
[29] Kraft，H.，《不变性几何方法》，弗里德里希·维埃格和索恩，德国布伦瑞克，1984年·Zbl 0569.14003号
[30] Landsberg，J.M.，张量：几何与应用，美国数学学会，罗得岛普罗维登斯，2012年·Zbl 1238.15013号
[31] Landsberg，J.M.和Manivel，L.，《关于Segre变种正割变种的理想》，Found。计算。数学。，4（2004），第397-422页，doi:10.1007/s10208-003-0115-9·Zbl 1068.14068号
[32] Lovett，S.，张量的分析秩及其应用，离散分析。，2019年（2019年），7doi:10.19086/da.8654·2017年11月14日
[33] Landsberg，J.M.和Weyman，J.，《关于有理同质品种的切线品种》，J.Lond。数学。Soc.（2），76（2007），第513-530页，doi:10.1112/jlms/jdm075·Zbl 1127.14045号
[34] Naslund，E.，张量和\（k\）-右角在\（｛\mathbf｛F｝｝_q^n\）中的划分秩，J.Combin.Theory Ser。A、 174（2020），105190，doi:10.1016/j.cta.2019.105190·Zbl 1477.11047号
[35] Naslund，E.和Sawin，W.F.，无向日葵集的上限，数学论坛。Sigma，5（2017），e15，doi:10.1017/fms.2017.12·Zbl 1366.05113号
[36] Oeding，L.，《计算机科学、统计学和其他领域张量的几何和表示理论报告》，预印本，arXiv:0810.39402008。
[37] Oeding，L.，《塞格雷变种切向变种的理论定义方程》，J.Pure Appl。《代数》，215（2011），第1516-1527页，doi:10.1016/j.jpaa.2010.09.009·Zbl 1226.14060号
[38] Oeding，L.和Raicu，C.，Segre-Veronese品种的切向品种，Collect。数学。，65（2014），第303-330页，doi:10.1007/s13348-014-0111-1·Zbl 1325.14066号
[39] Shitov，Y.，科蒙猜想的反例，SIAM J.Appl。代数几何。，2（2018），第428-443页，doi:10.1137/17M1131970·Zbl 1401.15004号
[40] Shitov，Y.，复对称张量的子秩可以超过其对称子秩，SIAM J.Appl。代数几何。，6（2022年），第531-535页，doi:10.1137/21M1465494·Zbl 1504.15086号
[41] Sawin，W.F.和Tao，T.，关于Tensor“切片等级”的注释，2016年，https://terrytao.wordpress.com/2016/08/24/。
[42] 斯特拉森，V.，《相对双线性复杂度和矩阵乘法》，J.Reine Angew。数学。，375-376（1987），第406-443页，doi:10.1515/crll.1987.375-376.406·Zbl 0621.68026号
[43] 斯特拉森，V.，张量的渐近谱，J.Reine Angew。数学。，384（1988），第102-152页，doi:10.1515/crll.1988.384.102·Zbl 0631.68033号
[44] Strassen，V.，双线性映射的退化和复杂性：一些渐近谱，J.Reine Angew。数学。，413（1991），第127-180页，doi:10.1515/crll.1991.413.127·兹比尔07466.55049
[45] Sylvester，J.J.，《形式微积分原理》，剑桥都柏林数学。J.，7（1852），第52-97页。
[46] Tao，T.，《Croot-Lev-Pach-Ellenberg-Gijswijt Capset Bound的对称公式》，2016年，https://terrytao.wordpress.com/2016/05/18/。
[47] Walter，M.、Doran，B.、Gross，D.和Christandl，M.，《纠缠多面体：来自单粒子信息的多粒子纠缠》，《科学》，340（2013），第1205-1208页，doi:10.1126/Science.1232957·Zbl 1355.81041号
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