桑托洛·勒维克;约翰·皮尔逊（John W.Pearson）。 基于Crank-Nicolson时间离散的含时偏微分方程最优控制的快速迭代求解器。 （英语） Zbl 07511600号 数字。线性代数应用。 29，第2期，e2419，23页（2022）. 摘要：在本文中，我们导出了一种新的、快速的、鲁棒的预条件迭代求解策略，用于以含时偏微分方程为约束的最优控制问题的一次求解，包括热方程和非稳态对流扩散方程。应用优化离散化方法后，将面临由PDE耦合系统组成的连续一阶最优性条件。与预处理结果离散化系统的大多数工作不同，其中使用（一阶准确）反向欧拉方法离散时间导数，我们在时间上使用（二阶准确）Crank-Nicolson方法。我们使用一个精心定制的可逆变换来对称化矩阵，然后为得到的鞍点系统导出一个最优预条件。该预条件器的关键组件是精确的质量矩阵近似、舒尔补码的良好近似以及应用后一种近似的适当多重网格过程——这些都是使用我们在矩阵系统变换中的工作构建的。我们通过特征值的界证明了Schur补码逼近的最优性，并针对由向后Euler离散化产生的线性系统的广泛使用的预条件对我们的求解器进行了测试。这些证明了我们的求解器在网格尺寸、正则化参数和扩散系数方面的有效性和鲁棒性。 引用于三文件 MSC公司： 65F08个 迭代方法的前置条件 65层10 线性系统的迭代数值方法 65平方米 含偏微分方程初值和初边值问题离散方程的数值解 关键词：对流扩散控制;PDE约束优化;预处理;鞍点系统;时间相关问题 软件：HSL_MI20型;AGMG公司;分钟;Matlab语言 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Leveque}和\textit{J.W.Pearson}，数字。线性代数应用。29，第2期，e2419，23页（2022；Zbl 07511600） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] HinzeM、PinnauR、UlbrichM、UlbichS。使用PDE约束进行优化。纽约州纽约市：Springer‐Verlag；2008 [2] TröltzschF公司。偏微分方程的最优控制：理论、方法和应用。数学研究生课程。普罗维登斯，RI：美国数学学会；2010. ·Zbl 1195.49001号 [3] ReesT、DollarHS、WathenAJ。PDE约束优化的最优解算器。SIAM科学计算杂志。2010;32:271-98. ·Zbl 1208.49035号 [4] 苏莱纳州SchöberlJ。鞍点问题的对称不定预条件及其在PDE约束优化问题中的应用。SIAM J矩阵分析应用。2007;29:752-73. ·Zbl 1154.65029号 [5] PearsonJW、StollM、WathenAJ。时间相关的PDE约束优化问题的正则化鲁棒预条件。SIAM J矩阵分析应用。2012;33:1126-52. ·Zbl 1263.65035号 [6] 斯托尔姆多尔戈夫斯。Navier-Stokes方程约束的优化问题的低阶解。SIAM科学计算杂志。2017;39:A255-80·Zbl 1381.76259号 [7] PearsonJW，StollM。化学过程中反应扩散控制问题的快速迭代解法。SIAM科学计算杂志。2013;35:B987-B1009·Zbl 1281.65095号 [8] BennerP、DolgovS、OnwuntaA、StollM。随机数据非定常Stokes-Brinkman最优控制问题的低阶解。计算方法应用机械工程2016；304:26-54. ·Zbl 1423.76329号 [9] StollM、PearsonJW、MainiPK。快速求解模式形成的最优控制问题。计算物理杂志。2016;304:27-45. ·Zbl 1349.92035号 [10] YücelH、StollM、BennerP。瞬态对流扩散方程最优控制问题的自适应间断Galerkin近似。电子传输数字分析。2018;48:407-34. ·Zbl 1412.65228号 [11] 马萨诸塞州桑德斯PaigeCC。稀疏不定线性方程组的求解。SIAM J数字分析。1975;12:617-29·Zbl 0319.65025号 [12] ElmanHC、SilvesterDJ、WathenAJ。有限元和快速迭代求解器：在不可压缩流体动力学中的应用。第二版，英国牛津：牛津大学出版社；2014. ·Zbl 1304.76002号 [13] RamageA公司。用于稳定离散对流扩散问题的多重网格预处理程序。J计算应用数学。1999;110:187-203. ·Zbl 0939.65135号 [14] HughesTJR，布鲁克斯。无侧风扩散的多维迎风格式。收录人：HughesTJR（编辑），编辑。对流主导流动的有限元方法。第34卷。纽约州纽约市：ASME；1979年，第19-35页·Zbl 0423.76067号 [15] CollisSS、HeinkenschlossM。用于解决最优控制问题的流线迎风/Petrov Galerkin方法分析，技术报告CAAM TR02‐01。休斯顿：莱斯大学计算与应用数学系；2002 [16] 莱克曼·D·海因肯施洛斯M。对流占优椭圆线性二次最优控制问题SUPG解的局部误差估计。SIAM J数字分析。2010;47:4607-38. ·Zbl 1218.49036号 [17] 贝克·R，布拉克·M。基于局部投影的Stokes方程的有限元压力梯度稳定。卡尔科洛。2001;38:173-99. ·Zbl 1008.76036号 [18] 贝克尔R、韦克斯勒B。用稳定有限元方法对对流扩散方程进行最优控制。数字数学。2007;106:349-67. ·Zbl 1133.65037号 [19] 布拉克M，伯曼E。Oseen问题的局部投影镇定及其作为变分多尺度方法的解释。SIAM J数字分析。2006;43:2544-66. ·Zbl 1109.35086号 [20] 佩尔森JW，WathenAJ。对流扩散控制问题的快速迭代求解器。电子传输数字分析。2013;40:294-310. ·Zbl 1287.49031号 [21] 周刚。流线扩散有限元方法的精度如何？数学计算。1997;66:31-44. ·Zbl 0854.65094号 [22] GüttelS，PearsonJW。抛物线最优控制问题的合理延迟修正方法。IMA J数字分析。2018;38:1861-92. ·Zbl 1462.65160号 [23] 斯托尔姆。时间相关的时间周期PDE约束优化问题的一次性解决方案。IMA J数字分析。2014;34:1554-77. ·Zbl 1303.65050号 [24] 布雷特·斯托尔姆。PDE约束优化的低阶时间方法。SIAM科学计算杂志。2015;37:B1-B29·兹比尔1330.65153 [25] HinzeM、KösterM、TurekS。一种用于优化流量控制的时空多重网格方法。收录人：LeugeringG（编辑）、EngellS（编辑）和GriewankA（编辑），HinzeM（编辑）。RannacherR（编辑）；SchulzV（编辑）等，编辑。偏微分方程的约束优化与最优控制。巴塞尔：施普林格；2012年，第147-70页·Zbl 1356.49046号 [26] 曾明、张刚。一种新的预处理策略，用于求解一类依赖时间的PDE约束优化问题。计算数学杂志。2014;32:215-32. ·Zbl 1313.65167号 [27] 哥切尔斯，小兵ML。抛物线偏微分方程优化的高效并行时间方法。SIAM科学计算杂志。2019;41:C603-26·Zbl 07149707号 [28] LiB，LiuJ，XiaoM。无约束抛物型最优控制问题的一种新的多重网格方法。J计算应用数学。2017;326:358-73. ·Zbl 1370.65032号 [29] HeinkenschlossM。一种求解分布式线性二次型最优控制问题的时域分解迭代方法。J计算应用数学。2005;173:169-98. ·Zbl 1075.65091号 [30] TuriniciG MadayY。用于控制偏微分方程的准实时过程。C R数学。2002;335:387-92. ·Zbl 1006.65071号 [31] MathewTP、SarkisM、ScharerCE。抛物型最优控制问题的块拟实预条件分析。SIAM科学计算杂志。2010;32:1180-200. ·Zbl 1216.49027号 [32] ChoiH、HinzeM、KunischK。后向台阶流的瞬时控制。应用数值数学。1999;31:133-58. ·Zbl 0939.76027号 [33] 欣泽。非定常Navier-Stokes方程的最优和瞬时控制【习惯化论文】。德国柏林：柏林工业大学；2000 [34] AxelssonO、BlahetaR、KohutR。高阶强稳定时间积分方法的预处理方法以及DAE问题的应用。数字线性代数应用。2015;22:930-49. ·Zbl 1374.65135号 [35] 弗莱格特·阿佩尔。带演化方程的最优控制问题的Crank-Nicolson格式。SIAM J数字分析。2012;50:1484-512. ·Zbl 1248.49041号 [36] 库兹涅佐夫亚。非匹配网格上椭圆问题的高效迭代求解器。Russ J Numer Anal Math M.1995；10:187-211. ·Zbl 0839.65031号 [37] MurphyMF、GolubGH、WathenAJ。关于不定线性系统预处理的注记。SIAM科学计算杂志。2000;21:1969-72. ·Zbl 0959.65063号 [38] 阿克塞尔松O，奈特切娃M。预处理鞍点矩阵的特征值估计。数字线性代数应用。2006;13:339-60. ·Zbl 1224.65080号 [39] 瓦塞纳州西尔维斯特德。稳定Stokes系统的快速迭代解。第二部分：使用通用块预条件。SIAM J数字分析。1994;31:1352-67. ·Zbl 0810.76044号 [40] 皮尔逊J。PDE约束优化问题的快速迭代求解器[D.Phil.论文]。英国牛津：牛津大学；2013 [41] SaadY，SchultzMH。GMRES：求解非对称线性系统的广义最小残差算法。SIAM科学统计与计算杂志。1986;7:856-69. ·Zbl 0599.65018号 [42] GolubGH，VargaRS。切比雪夫半迭代法、连续超松弛迭代法和二阶Richardson迭代法，第一部分：数值数学。1961;3:147-56. ·Zbl 0099.10903号 [43] GolubGH，VargaRS。切比雪夫半迭代法、连续超松弛迭代法和二阶Richardson迭代法，第二部分。数字数学。1961;3:157-68. [44] WathenA，里斯T。预处理中的切比雪夫半迭代。电子传输数字分析。2009;34:125-35. ·Zbl 1189.65065号 [45] 佩尔森JW，Watherna。某些鞍点系统的匹配Schur补逼近。收录人：DickJ（编辑）、KuoFY（编辑）和WoźniakowskiH（编辑），编辑。当代计算数学——庆祝伊恩·斯隆80岁生日。纽约州纽约市：斯普林格；2018年，第1001-16页·Zbl 1405.65048号 [46] 劳布AJ。科学家和工程师矩阵分析。宾夕法尼亚州费城：工业和应用数学学会；2004 [47] BoyleJ、MihajlovićM、ScottJ。HSL_MI20：用于三维有限元问题的高效AMG预处理程序。国际数值方法工程杂志2010；82:64-98·Zbl 1183.76799号 [48] 公证人NapovA。一种保证收敛速度的代数多重网格方法。SIAM科学计算杂志。2012;34：A1079-109·Zbl 1248.65037号 [49] 注释Y。对流扩散方程的基于聚合的代数多重网格。SIAM科学计算杂志。2012;34页：A2288-316·Zbl 1250.76139号 [50] 公证人：。基于聚合的代数多重网格方法。电子传输数字分析。2010;37:123-46. ·Zbl 1206.65133号 [51] 公证人：。AGMG软件和文档。可从以下位置获得：http://agmg.eu/index.html [52] 奥里奥丹·科普特万。奇异摄动微分方程数值解中的Shishkin网格。国际J数值分析模型。2010;7:393-415. ·Zbl 1197.65094号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。