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理查德·洛舍尔;奥拉夫·斯坦巴赫

波动方程分布式最优控制的时空有限元方法。 （英语） Zbl 1532.49031号

SIAM J.数字。分析。 62，第1期，452-475（2024年）.
摘要：我们考虑了时空域（Q:=\Omega\times（0，T）\subset\mathbb{R}^{n+1}）中波动方程的时空跟踪型分布最优控制问题，其中控制被假定在能量空间（[H_{0；，0}^{1,1}（Q）]^*）中，而不是更常见的（L^2（Q）中。后者确保了Sobolev空间中的唯一状态^{1,1}_{0；0，}（Q）\），这并没有定义解决方案同构。因此，我们使用适当的状态空间（X），使波算符成为从（X）到（[H_{0；，0}^{1,1}（Q）]^*）的同构。在完全非结构化但形状规则的单形网格上，利用分段线性连续基函数的时空有限元空间，导出了误差的先验估计{u}_计算的时空有限元解之间的上划线{u}_{varrhoh}\）和目标函数（上划线{u}\）关于正则化参数\（varrho\）和时空有限元网格大小\（h\），取决于所需状态\（上划线}\）的正则性。这些估计导致了最佳选择（varrho=h^2），以便为给定的时空有限元网格大小（h）定义正则化参数（varrho），或在（varrho）是表示控制成本的给定常数时确定所需的网格大小（h\）。理论结果将得到不同规律目标（包括不连续目标）的数值例子的支持。此外，提出了一种自适应时空有限元格式，并进行了数值分析。

MSC公司：

49米41 PDE约束优化（数值方面）
35英镑 波动方程
65岁15岁 涉及PDE的初值和初边值问题的误差界
65M60毫米 涉及偏微分方程初值和初边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法

关键词：

分布式最优控制问题;波动方程;时空有限元方法;先验误差估计;适应性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{R.Löscher}和\textit{O.Steinbach}，SIAM J.Numer。分析。62，编号1，452--475（2024；Zbl 1532.49031）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Adams，R.A.，Sobolev Spaces，学术出版社，纽约，伦敦，1975年·Zbl 0314.46030号
[2] Albani，V.、De Cezaro，A.和Zubelli，J.P.，关于Tikhonov正则化参数和离散化水平的选择：基于离散的策略，逆问题。成像，10（2016），第1-25页·Zbl 1334.35416号
[3] Babuška，I.和Aziz，A.，关于有限元方法数学基础的综述讲座，载于《有限元方法的数学基础及其在偏微分方程中的应用》，学术出版社，纽约，1972年，第1-359页·兹比尔0268.65052
[4] Bangerth，W.、Geiger，M.和Rannacher，R.，波动方程的自适应Galerkin有限元方法，计算。方法应用。数学。，10（2010年），第3-48页·Zbl 1283.35053号
[5] Brenner，S.C.和Scott，L.R.，《有限元方法的数学理论》，第三版，Springer，纽约，2008年·Zbl 1135.65042号
[6] Clason，C.和Kaltenbacher，B.，最优控制和逆问题[前言]，逆问题，36（2020），060301·Zbl 1435.00059号
[7] Dörfler，W.，泊松方程的收敛自适应算法，SIAM J.Numer。分析。，33（1996），第1106-1124页，doi:10.1137/0733054·Zbl 0854.65090号
[8] Dörfler，W.、Findeisen，S.、Wieners，C.和Ziegler，D.，线性弹性波和声波在空间和时间中的并行自适应间断Galerkin离散，《时空方法——偏微分方程的应用》，德格鲁伊特，柏林，2019年，第61-88页·Zbl 1453.65313号
[9] Engl，H.W.，Hanke，M.和Neubauer，A.，《反问题的正则化》，数学。申请375，Kluwer学术出版社，荷兰多德雷赫特，1996年·Zbl 0859.65054号
[10] Ernesti，J.和Wieners，C.，声波的时空不连续Petrov-Galerkin方法，摘自《时空方法——偏微分方程的应用》，德格鲁特，柏林，2019年，第89-115页·Zbl 1453.65316号
[11] Funken，S.、Praetorius，D.和Wissgott，P.，自适应P1-FEM在Matlab中的高效实现，计算。方法应用。数学。，11（2011），第460-490页·Zbl 1284.65197号
[12] Gangl，P.，Löscher，R.和Steinbach，O.，《能量正则化和状态或控制约束的最优控制问题的正则化和有限元误差估计》，预印本，arXiv:2306.153162023。
[13] Glowinski，R.、Kinton，W.和Wheeler，M.F.，波动方程边界可控性的混合有限元公式，国际。J.数字。方法工程师，27（1989），第623-635页·Zbl 0711.65084号
[14] Gugat，M.、Keimer，A.和Leugering，G.，状态约束下波动方程的最优分布式控制，ZAMM Z.Angew。数学。机械。，89（2009），第420-444页·Zbl 1176.35176号
[15] Hulbert，G.M.和Hughes，T.J.R.，二阶双曲方程的时空有限元方法，计算。方法应用。机械。《工程》，84（1990），第327-348页·Zbl 0754.73085号
[16] Isakov，V.，《偏微分方程的反问题》，第三版，Springer，Cham，2017年·Zbl 1366.65087号
[17] Kröner，A.，Kunisch，K.，and Vexler，B.，《带控制约束波动方程最优控制的半光滑牛顿法》，SIAM J.control Optim。，49（2011），第830-858页，doi:10.1137/090766541·Zbl 1218.49035号
[18] Ladyzhenskaya，O.A.，《数学物理边值问题》，Springer-Verlag，纽约，1985年·兹比尔0588.35003
[19] Langer，U.，Löscher，R.，Steinbach，O.，and Yang，H.，带可变能量正则化的分布式椭圆最优控制问题的自适应有限元方法，预印本，arXiv:2209.08812022。
[20] Langer，U.、Löscher，R.、Steinbach，O.和Yang，H.，分布式椭圆最优控制问题的稳健有限元离散化和求解器，计算。方法应用。数学。，23（2023），第989-1005页·Zbl 07766473号
[21] Langer，U.、Steinbach，O.、Tröltzsch，F.和Yang，H.，能量正则化抛物线最优控制问题的时空有限元离散化，SIAM J.Numer。分析。，59（2021），第675-695页，doi:10.1137/20M1332980·Zbl 1467.65094号
[22] Langer，U.、Steinbach，O.、Tröltzsch，F.和Yang，H.，抛物方程最优稀疏控制的非结构化时空有限元方法，收录于《偏微分方程的优化与控制——不确定性量化》、《开环与闭环控制与形状优化》，德格鲁特，柏林，2022年，第167-188页·Zbl 1487.49004号
[23] Langer，U.，Steinbach，O.，and Yang，H.，能量正则化抛物型分布最优控制问题的鲁棒时空有限元误差估计，预印本，arXiv:2206.064552022。
[24] Langer，U.、Steinbach，O.和Yang，H.，能量正则化椭圆最优控制问题的鲁棒离散化和求解器，计算。方法应用。数学。，22（2022），第97-111页·Zbl 1484.49048号
[25] Lions，J.-L.，偏微分方程控制系统的最优控制，Springer-Verlag，纽约，柏林，1971年·Zbl 0203.09001号
[26] Lions，J.-L.和Magenes，E.，《Problèmes aux limites non-homogènes et applications》，第1卷，巴黎杜诺德，1968年·Zbl 0165.10801号
[27] McLean，W.，《强椭圆系统和边界积分方程》，剑桥大学出版社，英国剑桥，2000年·Zbl 0948.35001号
[28] Meidner，D.和Vexler，B.，抛物线优化问题的自适应时空有限元方法，SIAM J.控制优化。，46（2007），第116-142页，doi:10.1137/060648994·Zbl 1149.65051号
[29] Montaner，S.和Münch，A.，线性波动方程控制的近似：一阶混合公式，数学。控制关系。Fields，9（2019），第729-758页·兹比尔1443.93034
[30] Natterer，F.，希尔伯特尺度下Tikhonov正则化的误差界，适用分析。，18（1984），第29-37页·Zbl 0504.65031号
[31] Neumüller，M.和Steinbach，O.，能量空间中分布式控制问题的正则化误差估计，数学。方法应用。科学。，44（2021年），第4176-4191页·Zbl 1469.49024号
[32] Nečas，J.，《Sur une méthode pour résoudre leséquations aux dés partielles du type elliptique》，《voisine de la variationnelle》，Ann.Scuola Norm。主管比萨Cl.Sci。（3） 第16页（1962年），第305-326页·Zbl 0112.33101号
[33] Peralta，G.和Kunisch，K.，波动方程最优控制的混合和混合Petrov-Galerkin有限元离散化，数值。数学。，150（2022年），第591-627页·Zbl 1487.49007号
[34] Pörner，F.，《病态最优控制问题的正则化方法》，博士论文，Julius-Maximilians-Universität Würzburg，德国，2018年。
[35] Steinbach，O.和Zank，M.，初始边值问题的强迫时空有限元方法，电子。事务处理。数字。分析。，52（2020年），第154-194页·Zbl 1436.65144号
[36] Steinbach，O.和Zank，M.，波动方程的广义inf-sup-stable变分公式，J.Math。分析。申请。，505 (2022), 125457. ·Zbl 1517.65091号
[37] Trautmann，P.、Vexler，B.和Zlotnik，A.，由变系数一维波动方程控制的可测值最优控制问题的有限元误差分析，数学。控制关系。Fields，8（2018），第411-449页·Zbl 1407.65203号
[38] Tröltzsch，F.，偏微分方程的最优控制，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2010年·Zbl 1195.49001号
[39] Zuazua，E.，有限差分法近似波的传播、观测和控制，SIAM Rev.，47（2005），第197-243页，doi:10.1137/S0036144503432862·Zbl 1077.65095号
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