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德米特里·克莱因博克;尼古拉·莫什切维汀;巴拉克·维斯

流形和分形上的奇异向量。 （英语） Zbl 1530.11064号

以色列。数学杂志。 245，编号2，589-613（2021）.
本文的作者考虑了流形上的近似。特别地，他们考虑了连通实解析子流形的一致指数及其对偶。
我们用（langle x rangle）表示从（x\in\mathbb{R}）到最近整数的距离。此外，对于两个向量\（mathbf{x}=（x_1，\ldots，x_n）\in\mathbb{R}^n\）和\（mathbf{y}=（y_1，\tdots，y_n\[\langle\mathbf{x}\rangle=\left（langlex_1\rangle，\ldots，\langlex_n\rangle\right），\quad\left\|\mathbf1\x}\right\|=\max_{1\leqj\leqn}\left|x_j\right|，\qua2\mathbf}x}\cdot\mathbf{y}=x_1y+\cdots+x_ny_n。\]对于（mathbf{xi}），我们定义了（mathbf{xi}\）的一致指数（hat{omega}（mathbf2}）为不等式系统的上确界（gamma>0）\[\left\|langleq\mathbf{xi}\rangle\right\|leqt^{-\gamma}，\quad 0<q\leqt\]对于所有足够大的\（t\）都有一个整数解\（q\）。以同样的方式，我们定义了在对偶近似意义下的一致指数。特别地，（hat{\omega}^*（\mathbf{\xi}）被定义为不等式系统的上确界\[\langle\mathbf{q}\cdot\mathbf{\xi}\rangle\leqt^{-\gamma}，\quad 0<\left\|mathbf}\right\|\leqt\]对于所有足够大的整数解（mathbf{q}）。
对于一个本原向量（mathbf{m}=（m_0，m_1，ldots，m_n）在mathbb{Z}^{n-1}中，我们用（a_{mathbf}m}}）表示超平面\[A_｛\mathbf｛m｝｝＝\left\｛\mathbf｛\xi｝\in\mathbb｛R｝^n\colon\sum_｛i=1｝^nm_i\si_i=m_0\right\｝。\]
设（S\subset\mathbb{R}^n）是一个非空局部闭子集，且（L_1，L_2，ldots\}）和（L'_1，L’_2，ldot）是（S\）的不同闭子集的不交集合，每个子集都包含在\（\mathbb{R}^n）中的有理仿射超平面中，对于每个\（i\）Let（a_i）是包含\（L_i \）的有理仿射超平面此外，我们假设以下情况成立：
1
\[\在S\colon\mathbf{x}\text{中，bigcup_iL_i\cup\biccup_jL'_j=\{\mathbf{x}\包含在有理仿射超平面}\}中。\]
2
对于每个\（i）和每个\（T>0），\[L_i=\overline{\bigcup_{\left|A_j\right|>T}L_i\cap L_j}。\]
三。
对于每一个\（i\），以及索引\（F\）的任何有限子集，\（F'）与\（i\not\ in F\），我们有\[L_i=\上划线{L_i\setminus\left（F}L_k\cup\bigcup_{k'\inF'}L'_{k'}\right）}。\]
4
\（\bigcup_i L_i\）在\（S\）中密集。
然后，作者证明了S中存在无数个完全无理（mathbf{xi}），使得（hat{omega}^*（mathbf2}）=infty）。通过一个标准的迁移参数，这意味着\（\hat{\omega}（\mathbf{\xi}）\geq\frac1{n-1}\）。
审核人：曼弗雷德·马德里奇（Vandœuvre-lès-Nancy）

引用于2文件

MSC公司：

11月13日 同时齐次近似，线性形式
11时54分 多项式的小分数部分及其推广
28A80型 分形
11公里60 概率数论中的丢番图逼近

关键词：

奇异向量;线性形式;有理仿射子空间
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\textit{D.Kleinback}等人，以色列。数学杂志。245，编号2，589--613（2021；Zbl 1530.11064）
全文： 内政部 arXiv公司

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