胡天豪;金邦提;周志（Zhou，Zhi） 用奇异分裂深Ritz方法求解具有奇异源的椭圆问题。 （英文） Zbl 1528.65110号 SIAM J.科学。计算。 45，编号4，A2043-A2074（2023）. 摘要：在这项工作中，我们开发了一个基于神经网络的二阶变系数奇异源椭圆方程的高效求解器。这类问题包括一般点源、线源和点线源的组合，具有广泛的实际应用。该方法基于将真解分解为一个奇异部分，该奇异部分通过拉普拉斯方程的基本解和一个正则部分解析地已知，该正则部分满足一个合适的具有平滑源的修正椭圆偏微分方程，然后使用deep Ritz方法求解正则部分。提出了一种路径允许策略来选择惩罚参数以实现Dirichlet边界条件。文中给出了在二维和多维空间中使用点源、线源或其组合进行的大量数值实验，以说明该方法的有效性，并与基于神经网络的几种现有方法进行了比较研究，这清楚地表明了其在特定类别问题上的竞争力。此外，我们简要讨论了该方法的误差分析。 MSC公司： 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 68T07型 人工神经网络与深度学习 65N12号 含偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 关键词：变系数泊松方程;奇异源;深层里兹法;惩罚方法;神经网络 软件：DGM公司;PIN码NTK码;hp-车辆识别号;LBFGS-B型 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Hu}等人，SIAM J.Sci。计算。45，编号4，A2043--A2074（2023；Zbl 1528.65110） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Adams，R.A.和Fournier，J.J.F.，《索博列夫空间》，第二版，爱思唯尔/学术出版社，阿姆斯特丹，2003年·Zbl 1098.46001号 [2] Adcock，B.和Dexter，N.，深度神经网络函数逼近理论与实践之间的差距，SIAM J.数学。数据科学。，3（2021），第624-655页，doi:10.1137/20M13109X·Zbl 1483.65028号 [3] Allgower，E.L.和Georg，K.，《数值延拓方法简介》，SIAM，费城，2003年，doi:10.1137/1.9780898719154·Zbl 1036.65047号 [4] Anthony，M.和Bartlett，P.L.，《神经网络学习：理论基础》，剑桥大学出版社，英国剑桥，1999年，doi:10.1017/CBO9780511624216·Zbl 0968.68126号 [5] Apel，T.、Benedix，O.、Sirch，D.和Vexler，B.，《Dirac右手边椭圆问题的先验网格分级》，SIAM J.Numer。分析。，49（2011），第992-1005页，doi:10.1137/090778018·Zbl 1229.65203号 [6] Auchmuty，G.，狄利克雷边值问题的Robin近似，数值。功能。分析。最佳。，39（2018），第999-1010页，doi:10.1080/01630563.2018.1453520·Zbl 1404.35144号 [7] Babuška，I.，有限元方法的误差界限，数值。数学。，71（1970），第322-333页，doi:10.1007/BF0216503·Zbl 0214.42001号 [8] Bottou，L.、Curtis，F.E.和Nocedal，J.，《大规模机器学习的优化方法》，SIAM Rev.，60（2018），第223-311页，doi:10.1137/16M1080173·兹比尔1397.65085 [9] Byrd，R.H.、Lu，P.、Nocedal，J.和Zhu，C.，《边界约束优化的有限内存算法》，SIAM J.Sci。计算。，16（1995），第1190-1208页，doi:10.1137/0916069·Zbl 0836.65080号 [10] Cai，Z.，Chen，J.和Liu，M.，线性平流-反应方程的最小二乘ReLU神经网络（LSNN）方法，J.Compute。物理。，443（2021），110514，doi:10.1016/j.jcp.2021.110514·Zbl 07515414号 [11] Cai，Z.和Kim，S.，《泊松方程使用奇异函数的有限元方法：角奇异性》，SIAM J.Numer。分析。，39（2001），第286-299页，doi:10.1137/S0036142999355945·Zbl 0992.65122号 [12] Cattaneo，L.和Zunino，P.，药物通过微循环传递的计算模型，以比较不同的肿瘤治疗，国际期刊Numer。方法生物识别。《工程》，30（2014），第1347-1371页。 [13] Costabel，M.和Dauge，M.，奇摄动混合边值问题，《Comm.偏微分方程》，21（1996），第1919-1949页，doi:10.1080/03605309608821249·Zbl 0879.35017号 [14] Cuomo，S.、Di-Cola，V.Schiano、Giampaolo，F.、Rozza，G.、Raissi，M.和Piccialli，F.，《通过物理信息神经网络进行科学机器学习：我们在哪里，下一步是什么》，J.Sci。计算。，92（2022），88，doi:10.1007/s10915-022-01939-z·Zbl 07568980号 [15] Cyr，E.C.、Gulian，M.A.、Patel，R.G.、Perego，M.和Trask，N.A.，深度神经网络的稳健训练和初始化：自适应基础观点，《第一届数学和科学机器学习会议论文集》，Lu，J.和Ward，R.编辑，2020年，第512-536页，https://proceedings.mlr.press/v107/cyr20a.html。 [16] D'Angelo，C.，加权空间中带Dirac测度项的椭圆问题的有限元近似：对一维和三维耦合问题的应用，SIAM J.Numer。分析。，50（2012），第194-215页，doi:10.1137/100813853·Zbl 1246.65215号 [17] D'Angelo，C.和Quarteroni，A.，《关于一维和三维扩散反应方程的耦合：组织灌注问题的应用》，数学。模型方法应用。科学。，18（2008），第1481-1504页·兹比尔1359.35200 [18] DeVore，R.、Hanin，B.和Petrova，G.，神经网络近似，数字学报。，30（2021），第327-444页，doi:10.1017/S0962492921000052·Zbl 1518.65022号 [19] Duan，C.，Jiao，Y.，Lai，Y.、Li，D.、Lu，X.和Yang，J.Z.，深层Ritz方法的收敛速度分析，Commun。计算。物理。，31（2022），第1020-1048页，doi:10.4208/cicp.oa-2021-0195·Zbl 1491.65117号 [20] Duan，C.，Jiao，Y.，Lai，Y.、Lu，X.、Quan，Q.和Yang，J.Z.，带Dirichlet边界条件的Laplace方程的Deep-Ritz方法，CSIAM Trans。申请。数学。，3（2022年），第761-791页，doi:10.4208/csiam-am.so-2021-0043。 [21] Han，W.E，J.和Jentzen，A.，《求解高维偏微分方程的算法：从非线性蒙特卡罗到机器学习》，非线性，35（2022），第278-310页，doi:10.1088/1361-6544/ac337f·Zbl 1490.60202号 [22] Engquist，B.、Tornberg，A.-K.和Tsai，R.，水平集方法中Diracδ函数的离散化，J.Compute。物理。，207（2005），第28-51页，doi:10.1016/j.jcp.2004.09.018·Zbl 1074.65025号 [23] Ern，A.和Guermond，J.-L.，《有限元理论与实践》，Springer-Verlag，纽约，2004年，doi:10.1007/978-1-4757-4355-5·Zbl 1059.65103号 [24] Evans，L.C.，《偏微分方程》，第2版，美国数学学会，普罗维登斯，RI，2010，doi:10.1090/gsm/019·Zbl 1194.35001号 [25] Fix，G.J.、Gulati，S.和Wakoff，G.I.，《关于奇异函数与有限元近似的使用》，J.Compute。物理。，13（1973），第209-228页，doi:10.1016/0021-9991（73）90023-5·Zbl 0273.35004号 [26] Fries，T.-P.和Belytschko，T.，《扩展/广义有限元方法：方法及其应用概述》，国际。J.数字。方法工程师，84（2010），第253-304页，doi:10.1002/nme.2914·Zbl 1202.74169号 [27] Gjerde，I.G.、Kumar，K.和Nordbotten，J.M.，线源泊松问题的混合方法，SIAM J.Numer。分析。，59（2021），第1117-1139页，doi:10.1137/19M1296549·Zbl 1466.35093号 [28] Gjerde，I.G.，Kumar，K.，Nordbotten，J.M.和Wohlmuth，B.，带线源椭圆方程的分裂方法，ESAIM数学。模型。数字。分析。，53（2019年），第1715-1739页·Zbl 1433.35129号 [29] Gradshteyn，I.S.和Ryzhik，I.M.，《积分、系列和产品表》，第8版，爱思唯尔/学术出版社，阿姆斯特丹，2015年·Zbl 0918.65002号 [30] Grinberg，L.、Cheever，E.、Anor，T.、Madsen，J.R.和Karniadakis，G.，《颅内动脉网络中的血流循环建模：三维/一维比较模拟研究》，Ann.Biomed。《工程》，39（2011），第297-309页。 [31] Grüter，M.和Widman，K.-O.，一致椭圆方程的格林函数，Manuscripta Math。，37（1982），第303-342页，doi:10.1007/BF01166225·Zbl 0485.35031号 [32] Guhring，I.和Raslan，M.，光滑空间中具有可编码权重的神经网络的近似速率，神经网络。，134（2021），第107-130页·Zbl 1475.68314号 [33] Hong，Q.，Siegel，J.W.和Xu，J.，《数值偏微分方程稳定神经网络解的先验分析》，预印本，arXiv:2104.029032021。 [34] Hosseini，B.、Nigam，N.和Stockie，J.M.，《关于狄拉克三角洲分布的正则化》，J.Compute。物理。，305（2016），第423-447页·Zbl 1349.35008号 [35] Huang，X.，Liu，H.，Shi，B.，Wang，Z.，Yang，K.，Li，Y.，翁，B.，王，M.，楚，H.、周，J.，Yu，F.，Hua，B.，Dong，B.，Chen，and L.，《基于物理信息神经网络的点源解偏微分方程》，第三十届国际人工智能联合会议论文集（IJCAI-22），2022年，第3839-3846页。 [36] Jiao，Y.，Jin，B.和Lu，X.，\（\ell^0\）正则化优化问题的原对偶活动集及其延拓算法，应用。计算。哈蒙。分析。，39（2015），第400-426页，doi:10.1016/j.acha.2014.10.001·Zbl 1329.49042号 [37] Jiao，Y.，Lai，Y.、Lo，Y..、Wang，Y.和Yang，Y..，椭圆方程Deep Ritz方法的误差分析，预印本，arXiv:2107.144782021。 [38] Jin，B.，Li，X.和Lu，X..，利用神经网络从电流密度量级成像电导率，逆问题，38（2022），075003，doi:10.1088/1361-6420/ac6d03·Zbl 1492.92043号 [39] Karniadakis，G.E.、Kevrekidis，I.G.、Lu，L.、Perdikaris，P.、Wang，S.和Yang，L.，《基于物理的机器学习》，《自然评论物理》。，3（2021年），第422-440页。 [40] Kharazmi，E.，Zhang，and Karniadakis，G.E.M.，hp-VPINNs:带区域分解的变分物理信息神经网络，计算。应用方法。机械。工程，374（2021），113547，doi:10.1016/j.cma.2020.113547·Zbl 1506.68105号 [41] Köppl，T.和Wohlmuth，B.，Dirac右手边椭圆问题的最优先验误差估计，SIAM J.Numer。分析。，52（2014），第1753-1769页，doi:10.1137/130927619·Zbl 1307.65154号 [42] Krishnapriyan，A.、Gholami，A.、Zhe，S.、Kirby，R.和Mahoney，M.W.，《表征物理知情神经网络中可能的故障模式》，发表在《第三十五届神经信息处理系统年会论文集》（NeurIPS 2021），2021年。 [43] Lagaris，I.E.、Likas，A.和Fotiadis，D.I.，求解常微分方程和偏微分方程的人工神经网络，IEEE Trans。神经网络。，9（1998年），第987-1000页。 [44] LeCun，Y.，Bottou，L.，Orr，G.B.，and Müller，K.-R.，《高效BackProp》，摘自《神经网络：交易技巧》，Montavon，G.，Or，G.和Müler，K.编辑，Springer，Heidelberg，1998年，第9-48页。 [45] Liu，Y.和Mori，Y.，离散δ函数的性质和浸入边界法的局部收敛性，SIAM J.Numer。分析。，50（2012），第2986-3015页，doi:10.1137/110836699·Zbl 1268.65143号 [46] Lu，Y.，Chen，H.，Lu，J.，Ying，L.，and Blanchet，J.《椭圆偏微分方程的机器学习：快速泛化界，神经尺度律和极小极大最优性》，预印本，arXiv:2110.068972021。 [47] Lu，Y.，Lu，J.，and Wang，M.，《求解高维椭圆偏微分方程的深层Ritz方法的先验泛化分析》，《学习理论会议论文集》，2021年，第3196-3241页。 [48] McClenny，L.和Braga-Neto，U.，使用软注意机制的自适应物理信息神经网络，预印本，https://arXiv:2009.04544, 2020. ·Zbl 07640528号 [49] Moore，S.、Moorhead，K.、Chase，J.、David，T.和Fink，J.，脑血管流动的一维和三维模型，J.Biomech。《工程》，127（2005），第440-449页。 [50] Moseley，B.、Markham，A.和Nissen-Meyer，T.，《利用物理知识深度学习解决波动方程》，预印本，https://arXiv:2006.11894, 2020. ·Zbl 07726220号 [51] Müller，J.和Zeinhofer，M.，带边界惩罚的深层Ritz方法的误差估计，《第三届数学和科学机器学习年会论文集》，2022年·Zbl 07636095号 [52] Müller，J.和Zeinhofer，M.，关于残差最小化中精确边界值的注释，载于2022年第三届数学和科学机器学习年会论文集。 [53] Peaceman，D.，《数值油藏模拟中井区压力的解释》，SPE J.，18（1978），第183-194页，doi:10.2118/6893-PA。 [54] Peng，G.C.Y.，Alber，M.，Buganza Tepole，A.，Cannon，W.R.，De，S.，Dura-Bernal，S，Garikipati，K.，Karniadakis，G.，Lytton，W.W.，Perdikaris，P.，Petzold，L.，and Kuhl，E.，多尺度建模与机器学习：我们可以学习什么？，架构（architecture）。计算。方法工程，28（2021），第1017-1037页，doi:10.1007/s11831-020-09405-5。 [55] Raissi，M.、Perdikaris，P.和Karniadakis，G.E.，《基于物理的神经网络：用于解决涉及非线性偏微分方程的正问题和逆问题的深度学习框架》，J.Compute。物理。，378（2019），第686-707页·Zbl 1415.68175号 [56] Rasht-Behesh，M.、Huber，C.、Shukla，K.和Karniadakis，G.E.，《用于波传播和全波形反演的物理信息神经网络（pins）》，J.Geophys。《固体地球研究》，127（2022），e2021JB023120。 [57] Reichold，J.、Stampani，M.、Keller，A.L.、Buck，A.、Jenny，P.和Weber，B.，模拟现实血管网络中大脑血流的血管图模型，J.Cereb。血流代谢。，29（2009），第1429-1443页。 [58] Rezaei，S.、Harandi，A.、Moeineddin，A.、Xu，B.-X.和Reese，S.，物理信息神经网络的混合公式，作为异质领域工程问题的潜在解决方案：与有限元方法的比较，计算。应用方法。机械。工程，401（2022），115616，doi:10.1016/j.cma.2022.115616·Zbl 1507.74068号 [59] Scott，R.，奇异数据的有限元收敛，数值。数学。，74（1973），第317-327页，doi:10.1007/BF01436386·Zbl 0255.65037号 [60] Shalev-Shwartz，S.和Ben-David，S.，《理解机器学习：从理论到算法》，剑桥大学出版社，纽约，2014年·Zbl 1305.68005号 [61] Sirignano，J.和Spiliopoulos，K.，DGM：求解偏微分方程的深度学习算法，J.Comput。物理。，375（2018），第1339-1364页·Zbl 1416.65394号 [62] Soudry，D.、Hoffer，E.、Nacson，M.S.、Gunasekar，S.和Srebro，N.，可分离数据梯度下降的隐式偏差，J.Mach。学习。决议，19（2018），70·Zbl 1477.62192号 [63] Sullivan，D.M.，《使用FDTD方法的电磁模拟》，John Wiley&Sons，新泽西州霍博肯，2013年。 [64] Sylvester，J.和Uhlmann，G.，边界连续依赖性下的反边值问题，Comm.Pure Appl。数学。，41（1988），第197-219页，doi:10.1002/cpa.3160410205·Zbl 0632.35074号 [65] Tang，K.，Wan，X.，and Yang，C.，DAS-PINNs:用于求解高维偏微分方程的深度自适应采样方法，J.Compute。物理。，476 (2022), 111868. ·Zbl 07652779号 [66] Uhlmann，G.，电阻抗断层成像和Calderón问题，反问题，25（2009），123011，doi:10.1088/0266-5611/25/123011·Zbl 1181.35339号 [67] Wang，S.、Teng，Y.和Perdikaris，P.，《理解和缓解物理信息神经网络中的梯度流病理学》，SIAM J.Sci。计算。，43（2021），第A3055-A3081页，doi:10.1137/20M1318043·Zbl 1530.68232号 [68] Wang，S.、Yu，X.和Perdikaris，P.，《PINN何时以及为何无法训练：神经切线内核视角》，J.Compute。物理。，449（2022），110768，doi:10.1016/j.jcp.2021.110768·Zbl 07524768号 [69] Wu，C.，Zhu，M.，Tan，Q.，Kartha，Y.，and Lu，L.，《物理信息神经网络非自适应和基于残差的自适应采样的综合研究》，计算。应用方法。机械。工程，403（2023），115671，doi:10.1016/j.cma.2022.115671·Zbl 07644158号 [70] Yarotsky，D.，深度ReLU网络近似的误差界，神经网络。，94（2017年），第103-114页·Zbl 1429.68260号 [71] Yu，B.和E.，W.，《深层Ritz方法：求解变分问题的基于深度学习的数值算法》，Commun。数学。《统计》第6卷（2018年），第1-12页·Zbl 1392.35306号 [72] Zang，Y.、Bao，G.、Ye，X.和Zhou，H.，高维偏微分方程的弱对抗网络，J.Compute。物理。，411（2020），109409，doi:10.1016/j.jcp.2020.109409·Zbl 1436.65156号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。