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安东·弗伦德

没有计算能力的数学承诺。 （英语） Zbl 1523.03027号

版本符号。日志。 15，第4号，880-906（2022）.
一方面，本文包含了证明理论的技术成果。另一方面，它从这些结果中得出了重要的哲学结论。
首先，为了说明第一个结果，需要以下符号：用\（{mathcal B}\）表示有限二叉树集：给定一个具有可分辨自由变量的公式\（\varphi（s）\，\（s\ in{mathcal-B}\，|\，\varphis（s）\}\ substeq{mathcall B}）的有限基属性可以形式化为（这里\（a\）是有限集的代码，换言之，\（exists^{mathrm{fin}}_a\psi（a）\）代表\（exists_a（\）“\（a\ in{mathbbN}\）codes a fin set”\（\wedge\psi（a）），\[{mathcalK}\varphi:\equiv\exists_{mathrm{fin}{a\ substeq{mathcal B}}（forall_{s\ in a}\varfi（s））\wedget\forall_{t\in{mathcal B}}（\varphi（t）\to\exists_{s\ina}s\leq_{\mathcal B}t））由此，二元Kruskal定理（即，如果（s）嵌入到（t）中的树中，则结果为（{mathcal B}}}）的顺序为（\leq_{{mathcalB}}，如果（s\leq_{mathcall B}}t\）嵌入到树中，结果为良好的偏序）
\[｛\mathcal K｝\ Sigma_｛1｝^｛-｝：=\｛\mathcal K｝\varphi\，| ``\varphi\text｛is｝\ Sigma_｛1｝^0\text｛只有一个自由变量“”｝\｝
每个\（{\mathcal K}\Sigma_{1}^{-}\）的实例都是一个闭合的\（\Sigma _2}^0）公式。
给定一个带有可分辨自由变量的公式\（\psi（\alpha）\）
\[\mathrm（马特姆）{程序}_{\epsilon_0}（\psi）：所有{\gamma\prec\epsilen_0}的等效值（所有{\beta\prec\ gamma}\psi（\beta）\rightarrow\psi（\ gamma））和\[｛\mathcal TI｝（\epsilon_0，\psi）：\equiv\mathrm{程序}_{\epsilon_0}（\psi）\rightarrow\forall_{\alpha\prec\epsilen_0}\psi（\alpha）.\]
无参数\（\Pi_｛1｝^｛0｝\）-归纳到\（\epsilon_0\）的方案是集合
\[{mathcal TI}（\epsilon_0，\Pi_{1}^{-}）：\equiv\{{mathcall TI}
用\（\mathrm表示{右}_{mathrm{PA}}（\Sigma{2}^0）在PA上的无参数反射原理。
详细证明了主要技术结果，即：（{mathcal K}\Sigma{1}^{-}）、（{mathcal TI}（\epsilon_0，\Pi{1}^{-{）和（\mathrm{右}_{mathrm{PA}}（\Sigma{2}^0）与PA等价。第二个证明的技术结果表明，（{mathcal K}\Sigma{1}^{-}）不会增加PA的计算强度（即它不会添加可证明的总函数），尽管PA+（{mathcal K}\Sigma-{1}^{-{）证明了PA的一致性。
现在，哲学方面。首先，假设J.巴黎和L.哈灵顿[“皮亚诺算术中的数学不完备性”，见：《数学逻辑手册》。与H.J.Keisler、K.Kunen、Y.N.Moschovakis、A.S.Troelstra合作。阿姆斯特丹，纽约，牛津：北霍兰德出版公司。1133–1142（1977）]等同于uniform\（\Sigma_{1}^0\）-对于\（epsilon_0）的本原递归性，前面提到的等价性为二进制Kruskal定理提供了类似的等价性。
第二，也是更重要的一点，证明Paris-Harrington原理独立于PA不需要哥德尔不完全性定理，也不需要证明Goodstein定理的独立性。另一方面，“PA并没有证明（{mathcal K}\Sigma_1}^{-}）的所有实例这一事实的唯一已知证明符合哥德尔定理。”作者认为，“这意味着（{mathcal K}\ Sigma_{1}^{-}）是数学独立性的一种概念上不同且具有基础意义的表现。”
声明的目标是“使论文尽可能容易理解和完备”，这一目标很可能只为以前接触过证明理论的读者实现。
审核人：维克托·潘布奇（格伦代尔）

MSC公司：

30楼03号 一阶算法和片段
03F40型 哥德尔数与不完全性问题
65年第68季度 算法和问题复杂性分析

关键词：

独立;计算强度;哥德尔第二不完全性定理;希尔伯特计划;克鲁斯卡尔定理;多项式时间算法
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\textit{A.Freund}，版本符号。日志。15，编号4880-906（2022；兹bl 1523.03027）
全文： 内政部 arXiv公司

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