奥菲尔·戈洛德茨基;亚历山大·曼格雷;布拉德·罗杰斯 平方树在短间隔内为高斯分布。 （英语） Zbl 1522.11093号 J.Reine Angew。数学。 795, 1-44 (2023). 设（{mathcal S}）是无平方正整数集，（N_{mathcalS}（x）=\#\{N\lex:N\in{mathcall S}\}）和\[N_{\mathcal S}（N，H）=N_{\ mathcal S}（N+H）-N_{\mathcal S{（N）。\]显然，\（N_{mathcal S}（N，H）\）计算\（N，N+H]\）中的无平方数。预计这大约是（H/\zeta（2））。对于\（k\ge 1），输入\[M_k（X，H）=frac{1}{X}\sum_{n\leX}\左（n_{mathcalS}（n，H）-\fracc{H}{zeta（2）}\右）^k\]对于统计量（N_{mathcal S}（N，H））的第（k）个矩。当\（k=2\）时，这是对\（A{sqrt{H}}\）的渐近，其中\（A\）在本文的（1.1）中由Hall的一个结果显式地表示。作者在定理1.1中表明，对于（1）H\le X\和（X to infty），\[M_k（X，H）=\mu_k（A^{1/2}H^{1/4}）^k+O_k（H^{k/4-c/k}+H^kX^{-1/3+O（1）}）\]对于每个正整数\（k\），其中\（muk=（k-1）！！\）如果\（k\）是偶数并且\（\mu_k\）是\（0\）如果\（k\）是奇数并且\（c>0\）是显式常数。它们还表明，如果（H=H（X））满足（H\to.infty\）但（log H/log X\to0\）为（X\to.iffty\），那么对于任何（z）（{mathbb R}\），\[\lim_{X\to\infty}\frac{1}{X}\#\left\{n\leX:\frac}n_{mathbb S}（n，H）-\frac[H}{\zeta（2）}}{A^{1/2}H^{1/4}}\gez\right\}=\frac[1}{\sqrt{2\pi}}}\int_z^{e^{-\frac{t^2}{2}}日期。\]证据建立在之前的工作之上R.M.努斯[公牛伦敦数学学会54，第4期，1282-1298（2022；doi:10.1112/blms.12628)]并使用筛分方法中的各种工具，例如蒙哥马利和沃恩提出的基本引理，蒙哥马里和苏丹拉拉扬提出的基本定理，以及Polya-Vinogradov不等式等。审核人：弗洛里安·卢卡（约翰内斯堡） 引用于2文件 MSC公司： 11N25号 具有指定乘法约束的整数的分布 11号37 算术函数的渐近结果 60F05型 中心极限和其他弱定理 60G22型 分数过程，包括分数布朗运动 关键词：无平方整数;筛分法的应用 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{O.Gorodetsky}等人，J.Reine Angew。数学。795，1-44（2023；Zbl 1522.11093） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] R.Arratia，（mathbf{Z}）上简单对称排斥系统中标记粒子的运动，Ann.Probab。11（1983），第2期，362-373·Zbl 0515.60097号 [2] M.Avdeeva，短间隔无B整数的方差，预印本（2015），https://arxiv.org/abs/1512.00149。 [3] M.Avdeeva、F.Cellarosi和Y.G.Sinai，《麦加的遍历和统计特性》{B} -免费数字，Teor。维罗亚特。Primen公司。61（2016），第4期，805-829·Zbl 1378.11084号 [4] P.Billingsley，《概率与测度》，第三版，Wiley Ser。普罗巴伯。数学。Stat.，John Wiley&Sons，纽约，1995年·Zbl 0822.60002号 [5] P.Billingsley，概率测度的收敛性，第二版，Wiley Ser。普罗巴伯。Stat.，John Wiley&Sons，纽约，1999年·Zbl 0172.21201号 [6] 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