路易·哈勒（Louis Halle Rowen） 带有否定映射的代数。 （英语） Zbl 1516.14112号 欧洲数学杂志。 8，编号1，62-138（2022）。 热带几何学起源于使用多项式变化分析代数变化，其中多项式环的经典框架被max-plus代数所取代；这不再是一个环，而是一个（可交换的）环半环，其中不允许否定。热带几何以热带代数为基础，与经典代数几何以交换代数为基础类似。缺少否定运算会导致热带代数的自然复杂性，而对基本概念（如多项式的唯一因式分解、行列式的好概念以及线性代数中的其他基本概念）的天真概括要么是含糊不清的，要么是不可能的，要么就是错误的。然而，经典理论（仿射几何、线性代数、矩阵理论、二次型等）与热带理论之间存在着神秘的联系。解密这些连接需要特殊的参数和工具，如超热带代数和重影映射、对称化等等。本文介绍了一种新的“带否定的代数系统”理论（特别是三元组、系统和系统模块），对上述工具进行了推广和统一，并解释了它们之间以及它们与经典代数理论之间的相似性。本文首先给出了所需的定义，然后提供了大量不同的例子，说明它们如何统一现有的理论，接着介绍了一系列基本定理，为系统研究新对象的结构理论奠定了基础。新理论的重要性既有概念性的，通过解释经典世界和热带世界之间的上述“神秘联系”，也有实用性的，因为它为热带工具包提供了新的代数工具，这些工具可能适用于未来的许多方向。更详细地说，本文讨论的主要对象是三倍的\（（\mathcal{A}，\mathcal{T}，-）\）其中\（\matchcal{A}\）是一个加法幺半群，'\（-\）'是\（\mathcal{A}\）的自同态（通常是二阶或幂等映射），其行为类似于阿贝尔群中的否定映射，并且\它需要在否定下闭合，并加上生成\（\mathcal{A}\）。否定映射可以定义类零元素（称为“准零”，即形式为\（a-a \）的元素），这些元素进一步要求不可见。在满足几个合理公理的（mathcal{A}）上引入一个额外的前置关系系统\（（\mathcal{A}，\mathcal{T}，-，\precq）\）。该理论的一个基本动机是，在许多经典定理的热带类比中，可以用（proceq）来代替等式。特别有趣的是，在加法下，\（\mathcal{T}\）是闭合的（元素及其负数除外）。这些被称为超有形的系统。由于系统扮演（热带）代数的角色，因此在它们上面有自然定义的模块，称为系统模块。虽然上述定义看起来可能是技术性的，但作者彻底展示了它们如何有效地捕获许多有用的现有热带概念，包括但不限于：max-plus代数（其中否定是恒等图）、超热带代数、对称化（其中否定为\（\mathcal{A}上的开关操作）\times\mathcal{A}\）、模糊环、超群等。本文证明的主要结构定理是：●系统可以通过下面的三元组和（mathcal{A}）的零（mathcal{T}）子模来表征；●如果\（\mathcal{A}\）是一个左模和右模，其中\（\mathcal{T}\）为一个幺半群，该幺半群可加法生成\（\mathcal{A}\），则后者自然成为半环；●超群可以被视为系统（并且描述了它们的元有形性）；●利用两类否定映射和特征类不变量对取消元有形系统进行分类；●关于\（\mathcal｛T｝\），元可指三元组中的元素通过其高度（生成它们所需的最小元素数）的一致且（几乎）唯一的表示定理；●建立了取消元有形单位三元组和系统之间的有用联系；●正则超群作为“可逆”系统有一个忠实的函数实现；●从自由半环到带否定的自由半代数有一个“转移原理”。有趣的应用包括系统上矩阵的行列式（子）乘法性和秩；交换半环基上带否定模和三元组的张量积的构造，从而导出带否定模的张量半代数和格拉斯曼半代数；系统仿射几何，其中“系统根”替换Zarisk几何中的闭集；系统模块上的双线性和二次型；和非关联系统结构（尤其是李半代数）。所有这些都激发了新的理论，并为未来的研究方向开辟了新的前景，这将进一步加深对热带代数领域的理解。这篇论文动机很强，写得很好，可读性很强，吸引了广大读者。审核人：贝埃里·格林菲尔德（拉马特·甘） 引用于4文件 MSC公司： 14T10段 热带几何学基础及与代数的关系 2016年60月 半环 08A72号 模糊代数结构 12K10型 塞米菲尔德 20N20型 超组 关键词：热带代数;热带几何学;热带化;Puiseux系列;估价;有形的;超有形的;否定图;三倍的;系统;对称化;同余;超视场;模糊环;分解代数;ELT代数;多项式的;张量积;线性代数;矩阵;李代数;超代数;格拉斯曼代数;外代数;超热带代数;半群;幺半群;模块;半环;半字段;超越关系 引文：Zbl 1182.15002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{L.H.Rowen}，《欧洲数学杂志》。8，编号1，62--138（2022；Zbl 1516.14112） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 阿基安，M。；巴帕特，R。；Gaubert，S。；霍格本，L。；布鲁尔迪，R。；格林鲍姆，A。；Mathias，R.，Max-plus代数。第25章，线性代数手册。《离散数学及其应用》（2006），博卡拉顿：查普曼和霍尔，博卡拉顿 [2] 阿基安，M。；Gaubert，S。；Guterman，A。；德国劳埃德船级社利特维诺夫；Sergeev，SN，热带半环及其以外的线性独立性，热带和幂等数学。《当代数学》，1-38（2009），普罗维登斯：美国数学学会，普罗维登·Zbl 1182.15002号 [3] 阿基安，M。；Gaubert，S。；Guterman，A。；利特维诺夫，德国劳埃德船级社；Sergeev，SN，《热带克拉默决定因素回顾》，《热带和白痴数学与应用》。《当代数学》，1-45（2014），普罗维登斯：美国数学学会，普罗维登·Zbl 1320.14074号 [4] Akian，M.，Gaubert，S.，Rowen，L.：超场系统和相关示例。预印本（2021年） [5] Akian，M.，Gaubert，S.，Rowen，L.：系统上的线性代数。预印本（2021年） [6] 巴切利，佛罗里达州；科恩，G。；GJ奥尔斯德；四边形，J-P，同步和线性。概率和数理统计中的威利级数（1992），奇切斯特：威利·Zbl 0824.93003号 [7] Baker，M.，Bowler，N.：超场上的拟阵（2016）。arXiv:1601.01204v4型 [8] Baker，M.，Bowler，N.：局部超结构上的拟阵（2017）。arXiv：1709.09707v1·Zbl 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