尼古拉·博莱;亚历克斯·汤森 用随机线性代数学习椭圆偏微分方程。 （英语） Zbl 1514.65194号 已找到。计算。数学。 23，第2号，709-739（2023）. 摘要：给定三维椭圆型偏微分方程（PDE）的输入输出对，我们导出了学习相关格林函数（G）的第一个理论严格方案。通过利用（G）的层次低秩结构，我们证明了我们可以构造一个几乎肯定收敛的近似（G），并且至多使用（mathcal{O}（epsilon^{-6}\log^4（1/\epsilon））得到的相对误差为)\)对于任何（0<epsilon<1），具有高概率的输入-输出训练对。数量\（0<\varGamma_\epsilon\le 1\）表征了训练数据集的质量。在此基础上，我们将学习矩阵的随机奇异值分解算法推广到Hilbert-Schmidt算子，并刻画了PDE学习协方差核的质量。 引用于2文件 MSC公司： 65纳米80 涉及偏微分方程边值问题的基本解、格林函数方法等 35J08型 椭圆方程的格林函数 60克15 高斯过程 65层55 低阶矩阵逼近的数值方法；矩阵压缩 65层20 超定系统伪逆的数值解 关键词：数据驱动的PDE发现;随机SVD;格林函数;希尔伯特-施密特算子;低阶近似 软件：PDE-网络;PPINN公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Boullé}和\textit{A.Townsend}，已找到。计算。数学。23，编号2，709--739（2023；Zbl 1514.65194） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Ballani，J.，Kressner，D.：具有等级低秩结构的矩阵。摘自：《利用矩阵计算中的隐藏结构：算法和应用》，第161-209页。施普林格（2016）·Zbl 1361.65023号 [2] Bebendorf，M.：层次矩阵：有效解决椭圆边值问题的方法。《计算科学与工程讲稿》（2008）·兹比尔1151.65090 [3] 贝本多夫，M。；Hackbusch，W.，系数为L的椭圆算子的逆FE-矩阵的（mathscr{H}）-矩阵逼近的存在性，Numer。数学。，95, 1, 1-28 (2003) ·Zbl 1033.65100号 ·doi:10.1007/s00211-002-0445-6 [4] 博尼托，A。；科恩，A。；DeVore，R。；彼得罗娃，G。；Welper，G.，椭圆偏微分方程的扩散系数估计，SIAM J.Math。分析。，49, 2, 1570-1592 (2017) ·Zbl 1371.35340号 ·doi:10.1137/16M1094476 [5] 布卡拉姆，W。；Turkiyyah，G。；Keyes，D.，从矩阵-向量运算构造层次矩阵的随机GPU算法，SIAM J.Sci。计算。，41、4、C339-C366（2019）·Zbl 07099326号 ·doi:10.1137/18M1210101 [6] Boulé，N.，Earls，C.J.，Townsend，A.：数据驱动的物理定律发现，具有人类可理解的深度学习。arXiv预打印arXiv:2105.00266（2021） [7] Boullé，N.，Nakatsukasa，Y.，Townsend，A.：理性神经网络。In:《神经信息处理系统进展》（NeurIPS），第33卷，第14243-14253页（2020年） [8] Boullé，N.，Townsend，A.：随机奇异值分解的推广。arXiv预印arXiv:2105.13052（2021） [9] Brunton，S.L.，Proctor，J.L.，Kutz，J.N.：通过非线性动力系统的稀疏识别从数据中发现控制方程。程序。国家。阿卡德。科学。美国113（15）（2016）·Zbl 1355.94013号 [10] Chernoff，H.：基于观察值总和的假设检验的渐近效率度量。安。数学。《统计》第493-507页（1952年）·Zbl 0048.11804号 [11] de Boor，C.，《秩、基和维数（教学）的另一种方法》，Lin.Alg。申请。，146, 221-229 (1991) ·Zbl 0724.15003号 ·doi:10.1016/0024-3795（91）90026-S [12] Dong，H。；Kim，S.，二维域中系数可测的二阶椭圆系统的格林矩阵，Trans。美国数学。Soc.，361，6，3303-3323（2009年）·Zbl 1173.35050号 ·doi:10.1090/S0002-9947-09-04805-3 [13] Dong，H.，Kim，S.：二维非发散椭圆算子的格林函数。SIAM J.数学。分析。53(4), 4637-4656 (2021). doi:10.1137/20M1323618·Zbl 1479.35257号 [14] Edmunds，D.E.，Evans，W.D.：谱理论和微分算子。牛津大学出版社（2018）·Zbl 1447.47006号 [15] Edmunds，D.E.，Kokilashvili，V.M.，Meskhi，A.：有界紧积分算子。施普林格科技与商业媒体（2013） [16] Evans，LC，偏微分方程（2010），普罗维登斯，R.I.：美国数学学会，普罗维登斯，R.I·Zbl 1194.35001号 [17] Feliu-Faba，J。；范，Y。；Ying，L.，带深度神经网络的元学习伪微分算子，J.Compute。物理。，408 (2020) ·Zbl 07505630号 ·doi:10.1016/j.jcp.2020.109309 [18] Gin，C.R.，Shea，D.E.，Brunton，S.L.，Kutz，J.N.：《深绿色：非线性边值问题格林函数的深度学习》。arXiv预印arXiv:2101.07206（2020）。doi:10.1038/s41598-021-00773-xl [19] Grüter，M。；Widman，KO，一致椭圆方程的格林函数，Manuscripta Math。，37, 3, 303-342 (1982) ·Zbl 0485.35031号 ·doi:10.1007/BF01166225 [20] Gühring，I.，Kutyniok，G.，Petersen，P.：深度ReLU神经网络在\（｛W｝^｛s，P｝\）范数中近似的误差界。分析。申请。18(05), 803-859 (2020) ·Zbl 1452.41009号 [21] Hackbusch，W.：层次矩阵：算法与分析。斯普林格（2015）·Zbl 1336.65041号 [22] Halko，N。；马丁森，PG；Tropp，JA，《寻找具有随机性的结构：构造近似矩阵分解的概率算法》，SIAM Rev.，53，217-288（2011）·兹比尔1269.65043 ·数字对象标识代码：10.1137/090771806 [23] Hsing，T.，Eubank，R.：函数数据分析的理论基础，以及线性算子的介绍。John Wiley&Sons（2015）·Zbl 1338.62009号 [24] 黄，S。；Kim，S.，非散度形式二阶椭圆方程的格林函数，势分析。，52, 1, 27-39 (2020) ·Zbl 1511.35121号 ·doi:10.1007/s11118-018-9729-z [25] Kang，K。；Kim，S.，二阶椭圆系统格林矩阵的全局逐点估计，J.Differ。Equ.、。，249, 11, 2643-2662 (2010) ·Zbl 1202.35079号 ·doi:10.1016/j.jde.2010.05.017 [26] Karhunen，K.：在der wahrscheinlichkeitsrechnung中使用线性方法。安·阿卡德。科学基金会。，序列号。A.I.37，3-79（1946年）·Zbl 0030.16502号 [27] 加藤，T.：线性算子的扰动理论。施普林格科技与商业媒体（2013） [28] Kim，S。；Sakellaris，G.，具有奇异低阶系数的二阶椭圆方程的格林函数，Commun。部分。不同。Equ.、。，44, 3, 228-270 (2019) ·Zbl 1420.35077号 ·doi:10.1080/03605302.2018.1543318 [29] Kim，S.，Xu，L.：具有奇异低阶系数的二阶抛物方程的格林函数。Commun公司。纯应用程序。分析。21(1), 1-21 (2022). doi:10.3934/cpaa.2021164l·Zbl 1481.35013号 [30] Ledoux，M.：浓度测量现象。数学。调查。莫诺。89.AMS，普罗维登斯，RI（2001）·Zbl 0995.60002号 [31] Li，Z.，Kovachki，N.，Azizzadenesheli，K.，Liu，B.，Bhattacharya，K.、Stuart，A.，Anandkumar，A.：参数偏微分方程的傅里叶神经算子。参加：国际学习代表大会（2021年）。https://openreview.net/forum？id=c8P9NQVtmnO [32] Lin，L.，Lu，J.，Ying，L.：从矩阵-向量乘法快速构造层次矩阵表示。J.计算。物理学。230(10), 4071-4087 (2011) ·Zbl 1218.65038号 [33] Loève，M.，《第二阶功能》，《科学评论》。，84, 195-206 (1946) [34] Long，Z.，Lu，Y.，Ma，X.，Dong，B.:PDE-NET:从数据中学习偏微分方程。摘自：机器学习国际会议，第3208-3216页。PMLR（2018） [35] Maddu，S.、Cheeseman，B.L.、Sbalzarini，I.F.、Müller，C.L.：稳定性选择能够从有限的噪声数据中稳健地学习偏微分方程。arXiv预印本arXiv:1907.07810（2019） [36] Martinsson，PG，计算矩阵分层半可分表示的快速随机算法，SIAM J.matrix Anal。申请。，32, 4, 1251-1274 (2011) ·Zbl 1237.65028号 ·doi:10.1137/100786617 [37] Martinsson，PG，通过随机抽样压缩秩结构矩阵，SIAM J.Sci。计算。，38、4、A1959-A1986（2016）·Zbl 1342.65211号 ·doi:10.1137/15M1016679 [38] X孟。；李，Z。；张，D。；Karniadakis，GE，PPINN：用于时间依赖性PDE的准真实物理信息神经网络，计算。方法应用。机械。工程，370（2020）·Zbl 1506.65181号 ·doi:10.1016/j.cma.2020.113250 [39] Mercer，J.，《正负型函数及其与积分方程理论的联系》，Philos。T.R.Soc.A，209，441-458，415-446（1909年） [40] Mood，A.M.，Graybill，F.A.，Boes，D.C.：统计学理论导论，第3版。McGraw-Hill（1974）·Zbl 0277.62002号 [41] Muirhead，R.J.：多元统计理论方面。John Wiley&Sons（2009年） [42] Nakatsukasa，Y.：快速稳定的随机低秩矩阵近似。arXiv预打印arXiv:2009.11392（2020） [43] 庞，G。；Yang，L。；Karniadakis，GE，用于函数近似和PDE解的神经网络诱导高斯过程回归，J.Compute。物理。，384, 270-288 (2019) ·Zbl 1451.68242号 ·doi:10.1016/j.jcp.2019.01.045 [44] 彼得森，P。；Voigtlaender，F.，使用深度ReLU神经网络的分段光滑函数的最佳逼近，神经网络。，108, 296-330 (2018) ·Zbl 1434.68516号 ·doi:10.1016/j.neunet.2018.08.019 [45] Raissi，M.，《深层隐藏物理模型：非线性偏微分方程的深层学习》，J.Mach。学习。第19、1932-955号决议（2018年）·兹比尔1439.68021 [46] 莱斯，M。；Karniadakis，GE，《隐藏物理模型：非线性偏微分方程的机器学习》，J.Compute。物理。，357, 125-141 (2018) ·兹比尔1381.68248 ·doi:10.1016/j.jcp.2017.11.039 [47] Raissi，M.，Perdikaris，P.，Karniadakis，G.E.：用于非线性动力系统数据驱动发现的多步神经网络。arXiv预印arXiv:1801.01236（2018） [48] 莱斯，M。；佩迪卡里斯，P。；Karniadakis，GE，Physics-informated neural networks:用于解决涉及非线性偏微分方程的正向和反向问题的深度学习框架，J.Compute。物理。，378, 686-707 (2019) ·兹比尔1415.68175 ·doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045 [49] 莱斯，M。；亚兹达尼，A。；通用电气公司Karniadakis，《隐藏流体力学：从流动可视化中学习速度和压力场》，《科学》，367，6481，1026-1030（2020）·Zbl 1478.76057号 ·doi:10.1126/science.aaw4741 [50] Rasmussen，C.E.，Williams，C.：机器学习的高斯过程。麻省理工学院出版社（2006）·Zbl 1177.68165号 [51] Rudin，W.：《真实与复杂分析》，第三版。McGraw-Hill（1986） [52] 鲁迪，SH；布伦顿，SL；普克托，JL；Kutz，JN，偏微分方程的数据驱动发现，科学。高级，3，4（2017）·doi:10.1126/sciadv.1602614 [53] Schaeffer，H.，通过数据发现和稀疏优化学习偏微分方程，Proc。数学。物理学。工程科学。，473, 2197, 20160446 (2017) ·Zbl 1404.35397号 [54] Schäfer，F.，Owhadi，H.：从矩阵向量乘积中椭圆解的稀疏恢复。arXiv预打印arXiv:2110.05351（2021） [55] Schäfer，F。；TJ沙利文；Owhadi，H.，近线性计算复杂性下稠密核矩阵的压缩、反演和近似主成分分析，多尺度模型。模拟。，19, 2, 688-730 (2021) ·Zbl 1461.65067号 ·doi:10.1137/19M129526X [56] Stewart，G.W.：矩阵算法：第1卷：基本分解。SIAM（1998）·Zbl 0910.65012号 [57] 汤森，A。；Trefethen，LN，矩阵分解的连续类似物，P.Roy。Soc.A，4712117320140585（2015）·Zbl 1372.65095号 [58] Trefethen，法律公告，Bau III，D.：数值线性代数。SIAM（1997）·Zbl 0874.65013号 [59] Voss，H.U.，Timmer，J.，Kurths，J.：从不确定和间接测量中识别非线性动力系统。国际法学分会。混沌应用。科学。工程14（06），1905-1933（2004）·兹比尔1129.93545 [60] 王，Z。；欢，X。；Garikipati，K.，《控制模式形成物理的偏微分方程的变分系统识别：在不同保真度和噪声下的推断》，计算。方法应用。机械。工程，356，44-74（2019）·Zbl 1441.65071号 ·doi:10.1016/j.cma.2019.07.007 [61] Wishart，J.，正态多变量人群样本中的广义乘积矩分布，Biometrika，20，32-52（1928）·doi:10.1093/biomet/20A.1-2.32 [62] Yarotsky，D.，深度ReLU网络近似的误差界，神经网络。，94, 103-114 (2017) ·兹比尔1429.68260 ·doi:10.1016/j.neunet.2017.07.002 [63] 亚兹达尼，A。；卢，L。；莱斯，M。；通用电气公司的Karniadakis为深入学习推断参数和隐藏动力学提供了信息，PLoS Compute。生物，16，11（2020）·doi:10.1371/journal.pcbi.1007575 [64] 赵，H。；楼层，BD；布拉茨，RD；Bazant，MZ，从图像学习图案形成的物理，Phys。修订稿。，124, 6 (2020) ·doi:10.1103/PhysRevLett.124.060201 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。