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丹尼尔·多纳;塞巴斯蒂安·祖尼加·奥尔特曼

关于\（\ zeta \）函数的Atkinson公式。 （英语） Zbl 1512.11062号

数学杂志。分析。申请。 516，第2号，文章ID 126478，34页（2022）.
作者推导了Riemann-zeta函数平均平方的几个经典公式中余项的新的显式界。这种公式已经建立了很长时间，但具有隐式和未知的大（O）常数。具体来说，在临界线上\（\ operatorname｛Re｝（s）=1/2\），\（\ zeta（s）\）的均方公式采用以下形式\[\int_0^T|\zeta（1/2+it）|^2，dt=T\log T+（2\gamma-1-\log 2\pi））T+\mathcal{E}（T），\]其中，\（\gamma=0.5772\ldots\）是欧拉常数，余项\（\mathcal{E}（T）\）是次项。众所周知，（mathcal{E}（T））满足理论上界（mathcal{E}（T）ll T^{35/108+varepsilon}），（35/108=0.32407ldots），（mathcal{E{（T \ldots\）。此外，在相反的方向上，已知存在一个正常数\（c\），使得\（|mathcal{E}（T）|ge-c\，T^{1/4}\）对于一些任意大的\（T\）值。等价地，\（\mathcal{E}（T）\）满足\（\Omega\）-界\（\mathcal{E}（T）=\Omega（T^{1/4}）\）。
在所审查的论文中，作者建立了明确的上限\[|\mathcal{E}（T）|\le 18.169，T^{1/2}\log^2 T，\quad（T\ge 100）。\]这个界限不是渐近的（即对于非常大的（T））与前面提到的理论上的大（O）界限相匹配，它的指数小于（1/2），但它是完全明确的，不涉及未知的大（O\）常数。
此外，作者在直线\（\ operatorname｛Re｝｛s｝=\ tau\）上ζ的均方余项上建立了一个显式界，适用于任何\（\ tau\ ne 1/2\），使得\（1/4\ le \ tau\ le 3/4\）。例如，当\（1/2<τ\le 3/4\），\[\int_0^T|zeta（\tau+it）|^2，dt=frac{（2\pi）^{2\tau-1}\zeta（2-2\tau）}{2-2\tau}T^{2-2\tao}+mathcal{电子}_{\tau}（T），\]作者表示\[|\马查尔{电子}_{\tau}（T）|\le\frac{16.839}{（\tau-1/2）^2}\sqrt{T}\log^2T，\qquad\left（T\ge100\ right）。\]最后，作者指出A.西蒙尼奇和V.V.斯塔里科娃[J.数论244111-168（2023；Zbl 1509.11081号)]最近导出了余数\（mathcal{E}（T）\）的显式界，其顺序为\（T^{frac{1}{3}}\log^{frac{5}{3{}T\）。（他们为除数函数的和引入了一个显式截断的Voronoi公式。）特别是，在最近的结果中，（T）的指数是（1/3），比作者结果中的指数（1/2）小。然而，作者的界限仍然产生了一个更尖锐的不等式，至少可达\（T=10^{30}\）。
审核人：Ghaith A.Hiary（哥伦布）

引用于1文件

MSC公司：

2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi））
11号37 算术函数的渐近结果

关键词：

黎曼-泽塔函数;\（L^2）范数;均方界限;显式边界;中值定理

引文：

Zbl 1509.11081号

软件：

SageMath公司;阿伯
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Dona}和\textit{S.Zuniga Alterman}，J.Math。分析。申请。516，第2号，文章ID 126478，34页（2022；Zbl 1512.11062）
全文： DOI程序 arXiv公司

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