巴斯蒂安·哈拉赫 介绍椭圆偏微分方程反系数问题的有限元方法。 （英语） Zbl 1510.65288号 贾里斯贝尔。Dtsch公司。数学-版本。 123，编号3，183-210（2021）. 摘要：几种新的成像和无损检测技术是基于从椭圆偏微分方程解的测量中重建其空间相关系数。在实际应用中，通常假设未知系数在给定的像素分区上是分段常数（对应于所需的分辨率），并且只能进行有限次的测量。这导致了反演有限维非线性正演算子（mathcal{F}:mathcal}D}（mathca{F}）subseteq\mathbb{R}^n到mathbb}R}^m）的问题，其中计算（mathcal{F}\）需要一个或多个PDE解。数值反演方法需要实现该正向算子及其雅可比矩阵。我们展示了如何使用标准FEM包有效地实现这两种方法，并证明了FEM近似值相对于其真实解的收敛性。我们使用Matlab Livelink软件包为Comsol提供了简单的示例代码，并用数字演示了非线性、非线性和不稳定性问题带来的挑战。我们还讨论了对称测量设置下产生的前向算子的单调性和凸性。本文假设读者具有有限元方法的基本知识，包括椭圆偏微分方程的变分公式、Lax-Milgram-theorem和Céa-Lemma。第3节还假设读者熟悉Fréchet可微性的概念。 引用于7文件 理学硕士： 65N21型 含偏微分方程边值问题反问题的数值方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 65纳米12 含偏微分方程边值问题数值方法的稳定性和收敛性 35甲15 偏微分方程的变分方法 65-01 与数值分析相关的介绍性说明（教科书、教程论文等） 关键词：有限元方法;反问题;有限多次测量;分段常数系数 软件：LiveLink（实时链接）;COMSOL公司;Matlab公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Harrach}，Jahresber。Dtsch公司。数学-123版，第3号，183--210（2021；Zbl 1510.65288） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] 阿德勒。；加布罗，R。；Lionheart，W.，电阻抗断层成像，成像数学方法手册，701-762（2015），柏林：施普林格，柏林·Zbl 1331.94009号 ·doi:10.1007/978-1-4939-0790-814 [2] 阿尔贝蒂，G.S。；Santacesaria，M.，有限数量测量的Calderón逆问题，数学论坛，Sigma（2019），剑桥：剑桥大学出版社，剑桥·Zbl 1426.35235号 [3] 亚历山德里尼，G。；Vessella，S.，逆电导问题的Lipschitz稳定性，高级应用。数学。，35, 2, 207-241 (2005) ·Zbl 1095.35058号 ·doi:10.1016/j.am.2004.12.002 [4] Arridge，S。；Maass，P。；O.Øktem。；Schönlieb，C.-B.，《使用数据驱动模型解决反问题》，《数值学报》。，28, 1-174 (2019) ·Zbl 1429.65116号 ·doi:10.1017/S096249291900059 [5] Arridge，S.R.，《漫反射光学成像方法》，Philos。变速器-皇家社会科学院数学系。物理学。工程科学。，369, 1955, 4558-4576 (2011) ·Zbl 1239.94004号 ·doi:10.1098/rsta.2011.0311 [6] Bhattacharya，K.，Hosseini，B.，Kovachki，N.B.，Stuart，A.M.：参数pde的模型简化和神经网络，arXiv预印本（2020）。arXiv:2005.03180号·Zbl 1481.65260号 [7] Calderón，A.P。；梅耶，W.H。；Raupp，M.A.，《关于反边值问题》，数值分析及其在连续介质物理中的应用研讨会，65-73（1980），里约热内卢：巴西。数学。里约热内卢Soc [8] Calderón，A.P.，关于反边值问题，计算。申请。数学。，25, 2-3, 133-138 (2006) ·Zbl 1182.35230号 [9] Hanke，M.，正则化Levenberg-Marquardt格式，及其在地下水反滤问题中的应用，反问题。，13, 1, 79 (1997) ·Zbl 0873.65057号 ·doi:10.1088/0266-5611/13/007 [10] Harrach，B.，《漫射光学层析成像中的唯一性》，逆问题。，25 (2009) ·Zbl 1169.35388号 ·doi:10.1088/0266-5611/25/5/055010 [11] Harrach，B.，有限多电极电阻抗断层成像的唯一性和Lipschitz稳定性，逆问题。，35, 2 (2019) ·Zbl 1491.92080号 ·doi:10.1088/1361-6420/aaf6fc [12] Harrach，B.，离散逆椭圆Robin传输问题的唯一性、稳定性和全局收敛性，数值。数学。，147, 29-70 (2021) ·兹比尔1459.35392 ·doi:10.1007/s00211-020-01162-8 [13] Jin，B。；Maass，P.，参数识别问题的稀疏正则化，逆问题。，28, 12 (2012) ·Zbl 1280.47063号 ·doi:10.1088/0266-5611/28/1223001 [14] Kaltenbacher，B。；基什内尔，A。；Vexler，B.，非线性逆问题中Tikhonov正则化参数选择的自适应离散化，逆问题。，27, 12 (2011) ·Zbl 1231.35306号 ·doi:10.1088/0266-5611/27/12/25008 [15] Kenig，C。；Salo，M.，《部分数据下卡尔德龙问题的最新进展》，Contemp。数学。，615, 193-222 (2014) ·Zbl 1330.35534号 ·doi:10.1090/conm/615/12245 [16] Klibanov，M.V。；李，J。；Zhang，W.，带限制Dirichlet-to-Neumann映射数据的电阻抗断层成像的凸化，逆问题。，35, 3 (2019) ·Zbl 1410.65432号 [17] Rondi，L.，Alessandrini和Vessella在一篇论文上的评论，高级应用。数学。，36, 1, 67-69 (2006) ·Zbl 1158.35105号 ·doi:10.1016/j.aam.2004.12.003 [18] Seo，J.K。；Kim，K.C。；贾格尔，A。；Lee，K。；Harrach，B.，《基于学习的非线性逆问题求解方法：肺部EIT的模拟研究》，SIAM J.Imaging Sci。，12, 3, 1275-1295 (2019) ·doi:10.1137/18M1222600 [19] 萨默萨洛，E。；M.切尼。；Isaacson，D.，电流计算机断层扫描电极模型的存在性和唯一性，SIAM J.Appl。数学。，52, 4, 1023-1040 (1992) ·Zbl 0759.35055号 ·doi:10.1137/0152060 [20] Uhlmann，G.，电阻抗断层成像和Calderón问题，逆问题。，25, 12 (2009) ·Zbl 1181.35339号 ·doi:10.1088/0266-5611/25/12/123011 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。