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布兰登·苏厄德

具有等熵基的伯努利位移是同构的。 （英语） Zbl 1506.37016号

J.型号。动态。 18, 345-362 (2022).
设（L，lambda）是一个标准概率空间（即具有Lebesgue测度的区间、原子的最大可数集合或两者的并）。任意一组（G）都可以作用于概率空间（L^G，lambda^G）的左边，因为一个元素（G中的G）把一个函数（varphi冒号G到L）带到由规则（G.varphi（t）=varphi^{-1}吨)\). 这是伯努利位移在\（G\）上，以\（L，\lambda）\为基数。
设（（2，u_2）和（（3，u_3）分别表示两个或三个原子的等测度集上的标准概率空间。冯·诺依曼（von Neumann）的一个老问题是，贝努利位移与碱基（（2，u_2）和（3，u_3）是否同构。更一般地说，将伯努利转移到可数无限群直至同构的分类是动力学中一个主要的公开问题。本文是对这个问题的贡献。
要否定冯·诺依曼的问题，A.N.科尔莫戈罗夫【Dokl.Akad.Nauk SSSR 124、754–755（1959年；Zbl 0086.10101号)]和是的。G.西奈[苏联数学，Dokl.31725-1729（1962；Zbl 0205.13501号)；Dokl翻译。阿卡德。Nauk SSSR 147797-800（1962）]提出了熵（mathbb{Z}）在伯努利位移等概率空间上的概率测度保持作用。后来，熵的概念被定义为索菲克组。
对于基为（L，lambda）的可数sofic群（G）上的Bernoulli移位，熵的概念等于香农熵\基空间的（H（L，\lambda）\），定义为\[H（L，\lambda）=\sum_｛\ell\in L｝-\lambda（\ell）\log\lambda（\ell）\]当支持\（\lambda\）为可数时，否则为无穷大。由于同构Bernoulli位移必须具有相等的熵，因此对于类sofic群（G）（mathbb{Z}），带基（（2，u_2）和（3，u_3）的Bernoulli-位移在（G）上不是同构的。
目前尚不清楚是否所有可数群都是sofic，所以对于一般G来说，冯·诺依曼的问题仍然没有解决。
本文的贡献如下。假设标准概率空间（L，lambda）和（H，kappa）具有相等的Shannon熵。然后，对于任意可数无限群（G），带基（L，lambda）和（K，kappa）的Bernoulli变换在（G）上是同构的。在特殊情况下，如果（L）和（K）是有限的或具有无穷熵的可数无限的，那么这样构造的同构可以被认为是有限的。
这个定理的证明受到了L.鲍文[《当代数学》567，67-78（2012；Zbl 1277.37016号)]，他在更严格的假设下证明了类似的陈述，即\（L，\lambda）\）和\（K，\kappa）\）至少支持三个点。它还依赖于早期的工作A.M.史蒂芬[苏联数学，Dokl.16，886–889（1975；Zbl 0326.28026号)；Dokl翻译。阿卡德。Nauk SSSR 223、300–302（1975）]和D.奥恩斯坦[高等数学.4，337–352（1970；Zbl 0197.33502号)]，它在群（G）包含（mathbb{Z}）作为子群的假设下建立了定理的陈述。
证明的主要技术创新似乎是在标准概率空间上定义了一个特定关系（R_\Gamma），其中（\Gamma\）表示一个非平凡的有限群。关系（R_\Gamma）不是传递的，但作者证明了如果（Gamma。然后作者证明，如果（L，lambda）和（K，kappa）实际上是由（R_\Gamma）关联的，那么可以巧妙地构造（mathbb{Z}）的副本（不在（G）中，但在遍历概率空间（M^G，mu）的某个正测度子集上保持轨道等价关系，并应用Ornstein的同构定理。
这篇论文写得很好，对这个问题的历史进行了非常有用的描述。关系（R_\Gamma）的定义让这位评论员感到不舒服：因为（L，\lambda）和（K，\kappa）由（R_\ Gamma套\（L）和（K）不可分离。从（R_\Gamma）的传递闭包的角度来看，这个假设似乎不太复杂，因为人们可以巧妙地从旧的概率空间构造新的概率空间。另一方面，它使得与（R_\Gamma）相关的性质不是概率空间的不变量。相反，假设存在一个从\（L）的子集到\（K）的子集的具有某些所需属性的双射可能会更好。
审核人：Rylee Lyman（纽瓦克）

引用于4文件

MSC公司：

37B10号机组 符号动力学
第37页第35页 熵和其他不变量、同构、遍历理论中的分类
28天20分 熵和其他不变量
20E36年 无限群的自同构
20层65 几何群论
94甲17 信息、熵的度量

关键词：

伯努利位移;同构;有限同构;熵;不顺从的

引文：

Zbl 0086.10101号;兹伯利0205.13501;Zbl 1277.37016号;Zbl 0326.28026号;Zbl 0197.33502号
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\textit{B.Seward}，J.Mod（简写：J.苏厄德）。动态。18、345--362（2022；Zbl 1506.37016）
全文： 内政部 arXiv公司

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