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福恩桑塔·阿罗卡;朱莉，醒酒;纪尧姆·隆德

代数罗朗级数的最小锥。 （英语） Zbl 1504.05308号

数学。安。 382，编号3-41745-1773（2022）.
经典的Newton-Puiseux定理明确地确定了特征零域（mathbb{K}）上一个变量中形式幂级数域的代数闭包。它将这个代数闭包标识为Puiseux域序列\（mathbb{K}\{x\}\}），其元素的形式为\（sum_{j=j_0}^{infty}a_jx^{j/N}\），其中\（j_0\）是整数，\（N\）是正整数。将Newton-Puiseux定理推广到多个变量涉及微妙之处：对于其中一个变量，变量中两个任意Laurent幂级数的（通常）乘积通常没有明确定义。将Puiseux级数直接推广为形式为（sum{mathfrak{j}\geq（j_1，\dots，j_n）}a{mathfrak{j}\mathfrak{x}^{mathflak{j{}/n}）的多变量级数（其中，（mathfrack{j}\ geq（j _1，\ dots，j _n）是协调优势），并没有提供（mathbb{K}（（x_1，dots）的代数闭包，x_n））\），即使（mathbb{K}）特征为零，变量中形式幂级数的域也为零。
麦克唐纳指出，给定系数为（mathbb{K}[x_1，dots，x_n]\）的任何Weierstrass多项式，其每个根都可以表示为一个Laurent Puiseux级数（它们是变量中的形式幂级数，其支持值包含在某个自然数的（mathbb{Z}^n/K\）中这取决于级数），它的支持包含在\（mathbb{R}^n）中有理强凸锥的平移中，并包含\（mathbb{R{n_{geq0}）。然而，并不是每一个这种类型的Laurent Puiseux级数都是代数over（mathbb{K}（（x_1，dots，x_n）），并且其代数元素的“有效”特征未知。本文的主要贡献是提供了一个必要条件，在这个条件下，有理强凸锥中支持的Laurent Puiseux级数包含（mathbb{R}^n{geq0}）是代数over（mathbb{K}（（x_1，\dots，x_n）），其中（mathbb2{K}\）是任意域。
引入的主要对象是与幂级数（xi）（在（mathbb{Q}^n）中有支持）相关联的下列锥：它由所有向量（在mathbb}R}^n中有非负坐标）组成，其中存在一个超平面（在mathbb{R}中有k）：超平面与\（\xi\）的支持不相交。注意，\（\tau（\xi）\）是一个圆锥体，但通常不是多面体。第一个主要结果（定理1.3）表明，如果（xi）是有理强凸锥中支持的代数Laurent Puiseux级数，其中包含（mathbb{R}^n_{geq0}），则锥（tau（xi（推论1.4）。
在这种情况下出现的一个自然问题是，（xi）的支持距离（tau（xi。定理1.5断言，存在\（\mathbb｛Z｝^n\）的有限子集\（C\）、Laurent多项式\（p\）和幂级数\（f\）（均在\（n\）变量中，系数在\（\mathbb｛K｝\）中），使得\（\xi+p+f\）的支持满足以下两个条件：（i）它包含在\（C+\tau（\xi）^｛\vee｝\）和（ii）它与（C+tau（xi）^{vee}）凸壳闭包的任意给定无界面（F）的交集具有无穷基数。定理1.6在以下意义上将定理1.5部分扩展到\（C+\tau（\xi）^{vee}\）凸壳的任意面。首先，请注意，对于每个洛朗多项式\（p\），我们有\（\tau（\xi）=\tau（\xi+p）\），并且\（\tau（\xi）\）边界中的点\（u\）对应于面\（F_{u，p}\），例如，在\（\xi+p\）的支撑的凸包的闭合中。定理1.6指出，对于在\（tau（xi）\）边界上的每一个\（u\in\mathbb{R}^n_{>0}\），都有一个Laurent多项式\（p_u\），使得\（xi+p_u \）支撑凸壳闭包的对应面\（F_{u，p_u}\）在无穷多个点处与\（xi\）支撑相交。
致谢：我们感谢Fuensanta Aroca澄清了本文的关键方面。
审核人：Madhusudan Manjunath（孟买）

MSC公司：

05E40型 交换代数的组合方面
12J25型 非Archimedean值字段

关键词：

Newton-Puseux系列;多面体锥体
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\textit｛F.Aroca｝等人，《数学》。附录382，编号3--4，1745--1773（2022；Zbl 1504.05308）
全文： 内政部 arXiv公司

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