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卢卡斯·维埃鲁斯;托马斯·舒斯特

使用传输方程的粘度解在动态衍射张量层析成像中定义良好的前向算子。 （英语） Zbl 1498.35631号

ETNA，电子。事务处理。数字。分析。 57, 80-100 (2022).
摘要：我们将非均匀折射和吸收介质中动态张量场层析成像的一般设置视为相关传输方程的反源问题。根据费马原理，所考虑区域内的黎曼度量由介质的折射率产生。在静态欧氏环境下，从张量场的纵向射线变换恢复张量场反问题已有大量结果，而对于一般黎曼度量和含时张量场，现有的反演公式和算法很少。众所周知，张量场层析成像相当于传输方程的反源问题，其中射线变换用作给定的边界数据。我们证明了这个结果推广到了动态情况。将动态张量层析成像解释为逆源问题是该领域的一种整体方法。为了保证前向映射是明确定义的，有必要证明基本传输方程的存在性和唯一性。不幸的是，相关弱公式的双线性形式不满足矫顽力条件。为此，我们转移到粘度解，并在只允许折射率微小变化的特定假设下，证明它们在适当的Sobolev（静态情况）和Sobolev-Bochner（动态情况）空间中的唯一存在。数值结果表明，当粘度项为零时，粘度解解可以求解原输运方程。

引用于1文件

MSC公司：

35兰特 PDE的反问题
35D40型 PDE粘度溶液
10层35层 线性一阶偏微分方程的初值问题
35英尺16英寸 线性一阶偏微分方程的初边值问题
35R01型 歧管上的PDE
2009年第35季度 输运方程
2005年第45季度 积分方程的反问题

关键词：

张量场的衰减折射动态射线变换;测地线;输运方程;粘度溶液
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛L.Vierus｝和\textit｛T.Schuster｝，ETNA，电子。事务处理。数字。分析。57，80-100（2022年；兹bl 1498.35631）
全文： 内政部 arXiv公司 链接

参考文献：

[1] A.ALPHONSE、C.M.ELLIOTT和ANDB。STINNER，演化空间抛物线偏微分方程的抽象框架，Port.Math。，72（2015），第1-46页·Zbl 1323.35103号
[2] A.BALANDIN、A.LIKHACHEV、N.PANFEROV、V.PICKALOV、A.RUPASOV、ANDA。SHIKANOV，辐射等离子体物体的层析诊断，《苏联激光研究杂志》，13（1992），第472-498页。
[3] S.E.BLANKE，B.N.HAHN，安大略省。WALD，具有不精确正向算子的逆问题：迭代正则化和在动态成像中的应用，逆问题，36（2020），第124001条，36页·Zbl 1455.65088号
[4] M.G.CRANDALL、H.ISHII和ANDP-L.LIONS，二阶偏微分方程粘度解用户指南，Bull。阿默尔。数学。Soc.（N.S.），27（1992），第1-67页·Zbl 0755.35015号
[5] DEFRISE ANDG先生。古尔伯格，张量和向量的三维重建，技术代表，劳伦斯伯克利国家实验室，伯克利，2005年。
[6] E.DEREVTSOV、R.DIETZ、A.K.LOUIS和ANDT。肖斯特，折射对二维层析成像问题解精度的影响，J.逆病态问题。，8（2000），第161-191页·兹比尔0961.65113
[7] E.Y.DEREVTSOV、A.V.EFIMOV、A.K.LOUIS和ANDT。SCHUSTER，奇异值分解及其在二维矢量层析成像中射线变换数值反演中的应用，J.Inverse Ill-Posed Probel。，19（2011年），第689-715页·Zbl 1279.33015号
[8] E.德里夫佐夫·安迪。SVETOV，平面张量场层析成像，欧亚数学杂志。公司。申请。，3（2015），第24-68页。
[9] E.DEREVTSOV、Y.VOLKOV和ANDT。SCHUSTER，张量场广义衰减射线变换的微分方程和唯一性定理，《第三届国际数值计算会议论文集：理论和算法》，Y.D.Sergeyev和D.E.Kvasov编辑，Lect。注释计算。科学。11974，施普林格，查姆，2019年，第97-111页·Zbl 07250746号
[10] L.C.EVANS，《偏微分方程》，第二版，AMS，普罗维登斯，2010年·Zbl 1194.35001号
[11] D.GERTH、B.N.HAHN和ANDR。RAMLAU，大气层析成像近似反演方法，反演问题，31（2015），第065002条，26页·Zbl 1382.86014号
[12] B.HAHN，已知运动线性动态逆问题的高效算法，逆问题，30（2014），第035008条，20页·Zbl 1291.65370号
[13] 《计算机断层扫描中的运动伪影研究和局部变形物体》，《逆向问题》，33（2017），第114001条，27页·Zbl 06818085号
[14] 《动态计算机断层扫描、传感和成像中的运动估计和补偿策略》，18（2017），第1–A˘S20页。
[15] S.HOLMAN、F.MONARD和ANDP。STEFANOV，《衰减测地X射线变换》，反问题，34（2018），第064003条，26页·Zbl 1415.44001号
[16] P.JUHLIN，多普勒断层成像原理，技术代表，隆德理工学院数学科学中心，隆德，1992年。
[17] V.卡拉西奥·安达。MASALOV，《量子光学中辐射的偏振层析成像方法》，J.Exper。西奥。物理学，99（2004），第51-60页。
[18] V.P.KRISHNAN，《关于测地射线变换的Pestov和Uhlmann反演公式》，J.Inverse Ill-Posed Probl。，18（2010年），第401-408页·Zbl 1279.44002号
[19] Y.KURYLEV、M.LASSAS和ANDG。UHLMANN，破碎测地线流的刚度和反问题，Amer。数学杂志。，132（2010年），第529-562页·Zbl 1206.53073号
[20] W.R.B.狮子座和。J.WITERS，《应变衍射层析成像》，《反问题》，31（2015），第045005条，17页·Zbl 1331.49050号
[21] J.-L.L LIONS，偏微分方程控制系统的最优控制，斯普林格，纽约，1971年·兹标0203.09001
[22] S.MINAKSHISUNDARAM安达。PLEIJEL，黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数的一些性质，Canad。数学杂志。，1（1949），第242-256页·Zbl 0041.42701号
[23] G.MINTY，关于求解Banach空间中非线性方程的“单调性”方法，Proc。美国国家科学院。科学。美国，50（1963），第1038-1041页·Zbl 0124.07303号
[24] F.MONARD，测地X射线变换及其反演的数值实现，SIAM J.成像科学。，7（2014），第1335-1357页·Zbl 1296.65186号
[25] 《简单曲面上函数和向量场上衰减测地X射线变换的反演》，SIAM J.Math。分析。，48（2016），第1155-1177页·Zbl 1515.35353号
[26] S.NORTON，二维矢量场的层析重建：在流动成像中的应用，地球物理学。J.，97（1988），第161-168页·Zbl 0679.76092号
[27] V.PANIN、G.ZENG、M.DEFRISE和ANDG。GULLBERG，主方向扩散张量MR成像：张量断层成像方法，Phys。医学生物学。，47（2002），第2737-2757页。
[28] G.P.PATERNAIN、M.SALO和ANDG。UHLMANN，连接和希格斯场的衰减射线变换，Geom。功能。分析。，22（2012），第1460-1489页·Zbl 1256.53021号
[29] L.PESTOV和。UHLMANN，关于测地X射线变换的范围和反演公式的表征，国际数学。Res.Not.，不适用。，80（2004年），第4331-4347页·Zbl 1075.44003号
[30] 二维紧致简单黎曼流形是边界距离刚性流形，数学年鉴。（2） ，161（2005），第1093-1110页·Zbl 1076.53044号
[31] P.PETERSEN，黎曼几何，第三版，施普林格，查姆，2016年。
[32] J.PRINCE，三维矢量层析成像的卷积反投影公式及其在MRI中的应用，IEEE Trans。图像。程序。，5（1996年），第1462-1472页。
[33] A.PURO和。KAROV，光纤光栅热弹性逆问题，《热应力杂志》，39（2016），第500-512页。
[34] 《残余应力张量场层析成像》，《光学与光谱学》，103（2007），第678-682页。
[35] T.ROUBÍCEK，非线性偏微分方程及其应用，Birkhâd'user，巴塞尔，2013·Zbl 1270.35005号
[36] U.施密特安达。K.LOUIS，动态逆问题正则化的有效算法。I.理论，反问题，18（2002），第645-658页·Zbl 1003.65049号
[37] U.SCHMITT、A.K.LOUIS、C.WOLTERS、ANDM。VAUHKONEN，动态逆问题正则化的高效算法。二、。应用，反问题，18（2002），第659-676页·Zbl 1003.65050号
[38] 尤·施罗德·安德特。SCHUSTER，《从飞行时间测量重建介质折射率的迭代方法》，《反问题》，32（2016），第085009条，35页·Zbl 1388.35226号
[39] T.SCHUSTER，《向量场断层成像20年：回顾》，载于《生物医学成像和强度调制放射治疗（IMRT）的数学方法》，Y.Censor，M.Jiang和a.K.Louis编辑，Scuola Normale Superiore出版物第7卷，Edizioni della Normale Pisa，比萨，2008年。
[40] V.SHARAFUTDINOV，具有上界曲率的流形上张量场的积分几何，西伯利亚数学。J.，33（1993），第524-533页·Zbl 0781.53057号
[41] ，《不完全数据矢量层析成像的逐层重建算法》，《逆问题》，23（2007），第2603-2627页·Zbl 1135.65411号
[42] 《张量场的积分几何》，德格鲁伊特，柏林，2012年。
[43] R.E.SHOWATER，《Banach空间中的单调算子与非线性偏微分方程》，AMS，Providence，1997年·兹比尔0870.35004
[44] G.SPARR ANDK。斯特拉伦，《矢量场层析成像：概述》，技术代表，数学成像小组，隆德理工学院数学科学中心，隆德，1998年。
[45] P.斯蒂芬诺夫和。UHLMANN，张量场X射线变换和边界刚度的稳定性估计，杜克数学。J.，123（2004），第445-467页·Zbl 1058.44003号
[46] P.STEFANOV，G.UHLMANN，安大略省。VASY，反演张量上的局部测地X射线变换，J.Ana。数学。，136（2018），第151-208页·Zbl 1527.53063号
[47] W.WALTER，《常微分方程》，施普林格出版社，纽约，1998年·Zbl 0991.34001号
[48] E.ZEIDLER，非线性泛函分析及其应用：II/B:非线性单调算子，Springer，纽约，2013
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