奥列格·巴拉巴诺夫;劳拉·格里戈里 随机Gram-Schmidt过程及其在GMRES中的应用。 （英语） Zbl 1492.65096号 SIAM J.科学。计算。 44，编号3，A1450-A1474（2022）. 摘要：一种随机Gram-Schmidt算法被开发用于高维向量的正交归一化或QR因子分解。与经典的Gram-Schmidt过程相比，所提出的过程的计算成本更低，同时其数值稳定性至少与改进的Gram-Schmidt方法相同。我们的方法基于随机绘制，这是一种降维技术，通过高维向量的小而有效的可计算随机图像（即所谓的草图）的内积来估计高维向量的内积。通过这种方法，可以通过将全矢量的草图正交化来获得全矢量的近似正交性。提出的Gram-Schmidt算法可以在任何体系结构中降低计算成本。通过以更高的精度执行非主导操作，可以扩大随机绘制的好处。在这种情况下，可以通过与问题的维数无关的工作单位舍入来保证数值稳定性。提出的Gram-Schmidt过程可以应用于Arnoldi迭代，并产生新的Krylov子空间方法来求解高维方程组或特征值问题。其中，我们选择随机GMRES方法作为该方法的实际应用。 引用于7文件 MSC公司： 65层25 数值线性代数中的正交化 关键词：Gram-Schmidt正交化;QR分解;随机化;随机草图绘制;数值稳定性;舍入误差;正交性损失;多精度算法;Krylov子空间方法;阿诺迪迭代;广义极小残差法 软件：mctoolbox软件 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{O.Balabanov}和\textit{L.Grigori}，SIAM J.Sci。计算。44，3号，A1450--A1474（2022；Zbl 1492.65096） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] N.N.Abdelmalek，Gram-Schmidt方法的舍入误差分析和线性最小二乘问题的求解，BIT，11（1971），第345-367页·Zbl 0236.65031号 [2] D.Achlioptas，《数据库友好随机投影：Johnson-Lindenstraus与二进制硬币》，J.comput。系统。科学。，66（2003），第671-687页·Zbl 1054.68040号 [3] N.Ailon和E.Liberty，双BCH码上使用Rademacher系列的快速降维，离散计算。地理。，42（2009），第615页·Zbl 1180.94083号 [4] O.Balabanov和A.Nouy，模型简化的随机线性代数。第一部分：Galerkin方法和误差估计，高级计算。数学。，45（2019年），第2969-3019页·Zbl 1464.65169号 [5] O.Balabanov和A.Nouy，模型简化的随机线性代数。第二部分：最小残差法和基于字典的近似，高级计算。数学。，47（2021），第1-54页·Zbl 1465.65036号 [6] J.L.Barlow、A.Smoktunowicz和H.Erbay，改进的Gram-Schmidt型降年方法，BIT，45（2005），第259-285页·Zbl 1087.65550号 [7] A.Bjo¨rck，通过Gram-Schmidt正交化解决线性最小二乘问题，BIT，7（1967），第1-21页·Zbl 0183.17802号 [8] E.Carson、T.Gergelits和I.Yamazaki，混合精度s步Lanczos和共轭梯度算法，Nume。线性代数应用。，新闻界·Zbl 07511606号 [9] M.P.Connolly、N.J.Higham和T.Mary，《随机取整及其概率向后误差分析》，SIAM J.Sci。计算。，43（2021），第A566-A585页·兹比尔1462.65050 [10] J.Drkošovaí，A.Greenbaum，M.Rozloz \780,niík，and Z.Strakos \780]，gmres的数值稳定性，BIT，35（1995），第309-330页·Zbl 0837.65040号 [11] L.Giraud、S.Gratton和J.Langou，松弛gmres的后向误差收敛，SIAM J.Sci。计算。，29（2007），第710-728页·Zbl 1142.65031号 [12] L.Giraud、J.Langou和M.Rozloznik，Gram-Schmidt正交化过程中的正交性损失，计算。数学。申请。，50（2005），第1069-1075页·兹比尔1085.65037 [13] L.Giraud、J.Langou、M.Rozložniík和J.van den Eshof，经典Gram-Schmidt正交化过程的舍入误差分析，数值。数学。，101（2005），第87-100页·Zbl 1075.65060号 [14] S.Gratton、E.Simon、D.Titley-Peroquin和P.Toint，《利用GMRES中的可变精度》，预印本，arXiv:1907.105502019年·Zbl 07332751号 [15] A.Greenbaum、M.Rozložnik和Z.Strakos \780]，修改的Gram-Schmidt gmres实现的数值行为，BIT，37（1997），第706-719页·Zbl 0891.65031号 [16] N.Halko、P.-G.Martinsson和J.A.Tropp，《发现随机结构：构造近似矩阵分解的概率算法》，SIAM Rev.，53（2011），第217-288页·Zbl 1269.65043号 [17] N.Higham和T.Mary，随机数据基本线性代数核的Sharper概率向后误差分析，SIAM J.Sci。计算。，42（2020年），第A3422-A3446页·Zbl 1452.65090号 [18] N.J.Higham，《数值算法的准确性和稳定性》，SIAM第二版，费城，2002年·Zbl 1011.65010号 [19] N.J.Higham和T.Mary，概率舍入误差分析的新方法，SIAM J.Sci。计算。，41（2019年），第A2815-A2835页·Zbl 07123205号 [20] I.C.Ipsen和H.Zhou，《内部产品的概率误差分析》，预印本，arXiv:1906.104652019年。 [21] S.K.Kim和A.Chrortopoulos，稀疏非对称矩阵极值特征值的高效并行算法，国际超级计算杂志。申请。，6（1992年），第98-111页。 [22] S.J.Leon，\AA.Bjo-rck和W.Gander，Gram Schmidt正交化：100年及更长时间，Numer。线性代数应用。，20（2013），第492-532页·兹比尔1313.65086 [23] J.Malard和C.Paige，两种并行QR分解算法的效率和可扩展性，《IEEE可扩展高性能计算会议论文集》，IEEE，1994年，第615-622页。 [24] C.C.Paige、M.Rozlozniík和Z.Strakos，修改的Gram-Schmidt（MGS），最小平方和MGS-GMRES的后向稳定性，SIAM J.矩阵分析。申请。，28（2006），第264-284页·Zbl 1113.65028号 [25] D.Pollard，《高级概率讲义》，单字母，耶鲁大学统计与数据科学系，2017年。 [26] M.Rozlozniök，《GMRES方法的数值稳定性》，手稿，1996年。 [27] A.Ruhe，向量Gram-Schmidt正交化的数值方面，线性代数应用。，52（1983年），第591-601页·Zbl 0515.65036号 [28] T.Sarlos，《通过随机投影改进大矩阵近似算法》，第47届IEEE计算机科学基础年会论文集，IEEE，2006年，第143-152页。 [29] V.Simoncini和D.B.Szyld，线性系统Krylov子空间方法的最新计算发展，Numer。线性代数应用。，14（2007），第1-59页·Zbl 1199.65112号 [30] A.Smoktunowicz、J.L.Barlow和J.Langou，经典Gram-Schmidt错误分析注释，Numer。数学。，105（2006），第299-313页·Zbl 1108.65021号 [31] K.Síwirydowicz、J.Langou、S.Ananthan、U.Yang和S.Thomas，低同步Gram-Schmidt和广义最小残差算法，Numer。代数应用。，28（2021年），第2343页·Zbl 1474.65103号 [32] J.Van Den Eshof和G.L.Sleijpen，线性系统的不精确Krylov子空间方法，SIAM J.矩阵分析。申请。，26（2004），第125-153页·Zbl 1079.65036号 [33] R.Vershynin，《高维概率：数据科学应用简介》，剑桥大学出版社，英国剑桥，2018年·Zbl 1430.60005号 [34] D.P.Woodruff，素描作为数值线性代数的工具，Foun。趋势理论。计算。科学。，10（2014），第1-157页·Zbl 1316.65046号 [35] I.Yamazaki、S.Tomov、T.Dong和J.Dongarra，用于提高GPU上CA-GMRES稳定性和性能的混合精度正交化方案和自适应步长，《计算科学高性能计算国际会议论文集》，Springer，2014年，第17-30页·Zbl 07631077号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。