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多边形的边相交。 (英语) Zbl 1490.37088号

作者考虑了平面多边形集上的离散动力系统。映射\(S\)将平面多边形\(P\)带到\(S(P)\),该多边形的顶点是\(P_)第二个最近边的交点。此图与中定义的五角星图相反[R.施瓦茨,实验数学。第1卷,第1期,第71–81页(1992年;Zbl 0765.52004)]因此,可以通过交叉连接第二个最近顶点的\(S(P)\)对角线,来反转从\(S,P)\重建\(P)的过程。
作者的目标是确定凸多边形(P)上所有连续迭代(s^n(P))都是凸多边形的充分必要条件。假设(P)是一个凸多边形,其顶点由模余数按循环顺序标记,向量(d_P)定义为(d_P=sum_{i=1}^{n}\frac{d_i}{a_i}),其中,(d_i)是连接顶点(i-1)和(i+1)的向量,(a_i)是由连接这两个顶点的线切割的三角形的面积。作者的一个结果是,对于凸多边形\(P\),\(s\)下\(P\)的所有连续图像都是凸的,当且仅当\(d_P=0\)。
另一种框显结果的方法是使用Glick操作符\(G_P\)。如果(P)是射影平面(mathbb{P}^2)中的多边形,并且(v_i\in\mathbb{R}^3)是(P)顶点齐次坐标的向量,那么Glick算子是[G_P(v)=nv-\sum_{i=1}^{n}\frac{v_{i-1}\wedge v_wedge{i+1}}。\]作者证明了凸多边形的所有迭代都是凸的条件等价于(d_P=0)和Glick算子(G_P)是仿射射影映射。
作者的主要结果是,在s迭代下保持凸的多边形集的测度为零。

MSC公司:

37J70型 完全可积离散动力系统
39A36型 可积差分与晶格方程;可积性检验
39B12号机组 迭代理论、迭代和合成方程
52二氧化碳 二维晶格和凸体(离散几何的方面)

引文:

Zbl 0765.52004
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参考文献:

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