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詹姆斯·兰利（James K.Langley）。

Bank-Laine函数、Liouville变换和Eremenko-Leubich类。 （英语） Zbl 1476.30117号

J.分析。数学。 141，第1期，225-246（2020）.
Bank-Laine猜想指出，如果（A）是有限阶超越整函数（rho（A），（f1），（f2）是[f''+A（z）f=0，tag{1}]的线性无关解，并且收敛指数（lambda（f1f_2）是有限的，那么在mathbb{N}中的（Rh（A）就是有限的。
这一推测最近在W.Bergweiler先生和A.埃雷蒙科[J.Eur.Math.Soc.（JEMS）19，No.6，1899–1909（2017；Zbl 1381.34111号); J.分析。数学。137，编号2751-812（2019；Zbl 1419.34235号)]使用准共形技术。
设\（T（r，f）\）表示\（f\）的Nevanlinna特征，\（n（r，1/f）\，（{z:|z|\ler\}\）中\（f）的零个数。
本文的第一个主要结果表明，如果系数（A）来自具有有限临界值和渐近值集的函数的Eremenko-Lubich类（mathcal{B}），则猜想成立。
定理1.3。设（A）是（mathcal{B}）中的超越整函数，设（E=f1f_2），其中（f1），（f2）是（1）的线性无关解。那么下面的其中一个就成立了。
（A） 函数\（A\）和\（E\）满足\（\rho（A）=\rho
（B） 存在（d>0），使得（E）的零满足\[n（r，1/E）>E^{dr^\frac 12}，\quadr to+\infty，\]，特别是\（rho（E）=\lambda（E）=+\inffy）。
示例表明，语句B中的指数（1/2）很尖锐。
第二个主要结果涉及Bank-Laine函数的零，即整个函数（E），使得（E（z）=0）意味着（E'（z）=pm 1）。作者获得了具有正零点的Bank-Laine函数的收敛指数（λ（E））的一个锐利下界，改进了由[D.德拉辛作者Lond。数学。Soc.Lect（社会学）。注释序列号。348, 165–178 (2008;Zbl 1158.30019号)].
定理1.5。设（E）是一个有限阶的实Bank-Laine函数，具有无穷多个零，所有零都是实的且为正的。则（E）的收敛指数（λ（E））至少为（3/2）。此外，如果\（λ（E）=\frac 32\），则\（E\）和相关系数函数\（A\）的阶数为\（\rho（E）=\rho（A）=\frac 32\）。
实例表明，得到了定理1.5中的指数（3/2）。
为了证明定理1.3和1.5，分别使用了Hille方法的改进和准cnformal手术。
审核人：伊戈尔·切希科夫（利沃夫）

引用于1审查
引用于5文件

MSC公司：

30天15 一个复变量整函数的特殊类和增长估计
34M10个 复域中常微分方程解的振动性和增长性

关键词：

整个功能;Bank-Laine函数;Bank-Laine猜想

引文：

兹比尔1381.34111;Zbl 1419.34235号;Zbl 1158.30019号
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\textit{J.K.Langley}，J.Ana。数学。141，编号1，225--246（2020；Zbl 1476.30117）
全文： 内政部 arXiv公司

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