马丁·戈尔斯特恩;卢卡斯·克劳斯纳。 没有交流电的强迫更奇怪。 （英语） Zbl 1463.03016号 评论。数学。卡罗尔大学。 61，第1期，21-26（2020年）. A.W.米勒《数学日志》第54卷第3期第307–322页（2008年；Zbl 1151.03025号)]，询问使用\[\operatorname{Fn}（X，2）=\{p:X\to 2\mid\operatorname{dom}p\text{强制是否可以折叠基数。作者表明，在地面模型中两个非等势集之间添加一个泛型双射的意义上，答案始终是肯定的，但如果这两个集在地面模型里都是有序的，答案就不是肯定的。具体地说，如果\（A=\bigcup_{n<\omega}A_n\）是这样的\（|A_n|=2\），并且没有无限\（I\subseteq\omega\）是那样的\（I\}中的\{A_n\mid\）允许选择函数，那么\（\operatorname{Fn}（A\times\omega，2）\）在\（A\）和\（\omega\）之间添加一个双射。另一方面，如果\（\kappa<\lambda\）是\（\aleph\）-数（无限好序集的基数），那么这是不可能的。如果当\（A\）和\（B\）都不能很好地排序，但\（X\）可以很好地排序时，\（\ operatorname｛Fn｝（X，2）\）可以将\（A\）折叠到\（B\），则它是开放的，但作者推测这确实是不可能的。本文的第二部分重点讨论了（sigma）-闭包的概念。“（sigma）-封闭强迫是分配的”这句话等同于依赖选择原则，这是一个古老的民俗学结果。作者用一个著名的例子证明了这种等价性的失败，这个例子是一个强迫，即Dedekind-finite，因此没有下降序列，这个强迫是无限Dedekind有限集内射有限序列的集合。在此基础上，作者证明了如果（X）是一个无限的Dedekind-finite集，则存在一个偏序，该偏序是（sigma）-闭的但折叠的（omega_1）。这促使引入闭包类型属性，该属性在依赖选择适用的上下文中等价于（sigma）-闭包，但仍然意味着分配性。其思想是将序列替换为金字塔是（n<ω）的一组不相交的条件，其中对于所有（n），都有一些（k）使得（P_n）中的所有条件都弱于（P_k）中的某些给定条件。A类顶石是一个条件\（q），对于所有\（n<ω\），存在一些\（k \ geq n \）和\（p \ in p_n\），使得\（q \）强于\（p）。作者证明了每个金字塔都有顶点的强迫是封闭的，也是分布的。最后，作者证明了如果（X）是一个不能映射到（ω）上的无限集，则（operatorname{Fn}（X，2））有任意大的有限反链，但不存在无限反链。这项研究也由A.卡拉吉拉和P.Schlicht先生在[“如何通过忘记如何计数来获得更多的东西”，Proc.R.Soc.Lond.，A，Math.Phys.Eng.Sci.476，No.2239，Article ID 20190782，782–793（2020）]中，这个所谓的“（\aleph_0）链条件”被证明等同于几个语句，其中“（X）的有限子集集是Dedekind-finite”。这篇论文很短，很容易理解，前提是你事先熟悉一些概念和符号，并且可以提供一个愉快的心理练习，在周日下午，在没有空调的情况下，强迫自己喝一杯悠闲的茶。审核人：阿萨夫·卡拉吉拉（诺维奇） 引用于1文件 MSC公司： 03E25型 选择公理和相关命题 03E40型 强制模型和布尔值模型的其他方面 关键词：强制;选择公理;非交流强制;采埃孚 引文：Zbl 1151.03025号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Goldstern}和\textit{L.D.Klausner}，评论。数学。卡罗尔大学。61，编号1，21--26（2020；Zbl 1463.03016） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Karagila A.，所有泛型扩展中的选择原则是否意味着AC在（V）中？，2018年MathOverflow问题的答案 [2] 库恩·K。，《集合论：独立性证明导论》，《逻辑学和数学基础研究》，102，北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1983年·Zbl 0534.03026号 [3] Miller A.W.、Long Borel层次结构、MLQ数学。日志。问题54（2008），第307-322号·兹比尔1151.03025 ·doi:10.1002/malq.200710044 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。