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洛伊奇·格雷尼;朱塞佩·莫尔特尼

类组的生成器的显式边界。 （英语） Zbl 1461.11137号

数学。计算。 87，编号313，2483-2511（2018）。
设（mathbb{K}）是一个度为（n_{mathbb{K}}\geq2（\mathbb{K}\），\（\mathfrak p\）的范数，（mathbb{K}）的判别式的绝对值和（mathbb{K}\）的类组。设\（\mathcal W\）是函数集\（F:[0，+\infty）\rightarrow\mathbb{R}\），这样：
●
\（F\）是连续的；
●
\（存在}\varepsilon>0）使得函数（F（x）e^{（frac{1}{2}+varepsilen）x}）是可积的，并且具有有界变差；
●
\（F（0）>0）；
●
\（（F（0）-F（x））/x\）是有界变量。
然后，对于\（T>1），\（{mathcal W}（T）\）是\（mathcal W）的子集，这样：
●
\（F\）在\（[0，\log T]\）中有支持；
●
（F）的傅里叶余弦变换是非负的。
对于\（[0，\infty）\）上任何紧支持的函数\（F\），设置\[{\text I}（F）：=\int_0^{+\infty}{\frac{F（0）-F（x）}{2\sinh（x/2）}}\\mathbf{d} x个\\\\text｛and｝\\\\text J｝（F）：=\int_0^｛+\infty｝｛\frac｛F（x）｝｛2\cosh（x/2）｝\\mathbf{d} x。\]最后，让\（T_{mathcal C}（\mathbb{K}）\）是最低的\（T\），这样集合\（{{mathfrak p}:\text N{mathfrak p}\leq T\}\）生成\（{mathcalC\ell}_{mathbb{K}}\）。以下定理由K.贝拉巴斯等【数学计算77，No.262，1185–1197（2008；兹比尔1183.11068)].
定理2.4。设（mathbb{K}）是一个满足Riemann假设的数域，所有（L）函数都附属于其理想类群（{mathcal C\ell}_{mathbb}K}}）的非平凡特征，并假设对于某些（T>1），存在一个这样的（F\in{mathcal-W}（T））\[2\sum_{mathfrak p}{\log\text N{mathbrak p}}\sum_{m=1}^{+\infty}{\frac{F（m\log\textN{\mathfrak-p}）}{\text N{\mathfrak p ^{m/2}}}>F（0）（\log\Delta_{\mathbb{K}}-（\gamma+\log8\pi）N{\mat血红蛋白{K}）+{\text I}（F）N_{mathbb{K}}-{text J}（F）r_1.\]然后\（T_｛\mathcal C｝（\mathbb｛K｝）＜T\）。
仍然假设\（T>1）let \（L:=\log T\），并且\（\Phi^+\）是一个实的、非负的、分段连续的函数，在\（[0，L]\）中有正的度量支持。让\[\开始{array}{rll}\Phi^-（x）&：=&\ Phi^+（-x）\\\Phi^{\circ}（x）&：=&\Phi^+（L/2+x）\\\Phi（x）&：=&\Phi^{\circ}（x）+\Phi_{\cic}（-x）\\F&：=&\Phi\ast\Phi。\结束｛数组｝\]这些选择确保了（Phi）的卷积平方（F）在（{mathcal W}（T））中。现在假设\（a \ in（0，L]\）和let \（\Phi^+_{\mathbf{e}}（x）：=e^{x/2}\chi_{[L-a，L]}（x）\）。设\（F_{\mathbf{e}}\）是上面定义的\（F\），当\。设（T_{mathbf{e}}（mathbb{K}）为极小值，使得函数（F_{mathbf{e}{）满足定理2.4对某些（a）的条件。然后，\（T_{mathcal C}（\mathbb{K}）\leqT_{mathbf{e}}（\ mathbb}K}。
定理3.6。我们有
\[\开始{array}{rcl}\sqrt{T_{mathcal C}（\mathbb{K}）}&\leq&\sqrt{T_{mathbf{e}}（\tabb{K{）}\\&\leq&2\left（\log\Delta_{\mathbb{K}}+\log\log\Delta_{\ mathbb}K}}-（\gamma+\log2\pi）n_{\mathbb{K}}+1+（n_{\ mathbb}K}}+1）{\frac{log。\结束{数组}\]此外，如果\（\log\Delta_{\mathbb{K}}\geqn_{\mathbb{K}}2^{n_{mathbb}}}），我们有\[\sqrt{T_{mathcal C}（\mathbb{K}）}\leq\sqrt{T_{mathbf{e}}（\tathbb{K}）{leq 2\left（\log\Delta_{mathbb}K}}+\log\log\Delta_{mathbb{K1}}-（\gamma+\log2\pi）n_{mat血红蛋白{K}+1\right）。\]
他们得到了定理3.6的以下两个推论。
推论3.7。我们有\[T_{mathcal C}（\mathbb{K}）\leq T_{mathbf{e}}\mathbb{K}）\leq4（1+（2\pie ^\gamma）^{-n_{mathbb}K}}）^2\log^2\Delta_{mathbb{K{}}此外，\[\text{if}\\log\Delta_{\mathbb{K}}\leq\frac{1}{e}（2\pie^\gamma）^{n_{\mathbb{K}}\\text{then}\\T_{\mathcal C}
推论3.8。假设GRH。然后\[T_{mathcal C}（\mathbb{K}）\leq T_{mathbf{e}}（\tathbb{K}）\ leq 4.01\log^2\Delta_{mathbb}}.\]
设（T（mathbb{K}）表示理想生成范数的界（{mathcalC\ell}_{mathbb}K}}）。作者还证明了本文中的以下定理。
定理4.4。假设GRH。对于任何固定的\（n_{mathbb{K}}，\）\[\limsup_{\Delta_{\mathbb{K}}\rightarrow\infty}\frac{T（\mathbb{K}）}{此外，对于\ left\{\mathbb{Q}[\sqrt{-1}]、\ mathbb}Q}[\sqrt{-3}]、\mathbb{Q}[\sqrt{5}]\right\}\中的任何字段\（\mathbp{K}\ not\），我们都有\[T（\mathbb{K}）\leq 3.9（\log\Delta_{\mathbb{K}}\log\log\Delta_{\ mathbb}K}}）^2
将定理4.4与上述论文中获得的下界结合起来，给出了固定的（n_{mathbb{K}}）的（T（\mathbb}K}）\asymp（\log\Delta_{mathbb{K{}}\log\log\Delta_{mathbb{K1}）^2）。
在论文的第5节中，作者对上述论文的算法进行了改进，并报告了在一些纯域和双二次域上进行的广泛测试的结论。
审核人：詹姆斯·卡特（查尔斯顿）

引用于1审查
引用于三文件

MSC公司：

2014年11月 代数数；代数整数环
11兰特29 类号、类群、判别式

关键词：

类组;鉴别的;布赫曼算法

引文：

Zbl 1183.11068号

软件：

PARI/GP公司;nftables（表格）
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Grenié}和\textit{G.Molteni}，数学。计算。87，No.313，2483--2511（2018；Zbl 1461.11137）
全文： 内政部 arXiv公司

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