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安库什·戈斯瓦米

用于Euler对Riemann-zeta函数求值的A（q）-模拟。 （英语） Zbl 1459.11050号

Res.数论 5，第1号，第3号论文，第11页（2019年）.
在之前的一篇论文[Ann.Comb.23，第3–4期，801–806（2019；Zbl 1459.11051号)]作者提出了Euler’s（zeta（4）=pi^4/90）和（zeta（6）=pi ^6/945）的（q）-类比，这两个类比的灵感来源于Z.W.Sun关于Euler’s[（q）]类比的一个结果。
在本文中，作者通过给出Euler（zeta（2k）=（-1）^{k+1}2的（q）-类似物来推广和推广这些结果^{2k}乙_{2k}\pi^{2k{/（2（2k！））和任何正整数（k\）。有两个主要定理。第一种状态是，如果\（k\ge2）是一个偶数正整数并且\（q=e^{2\pii\tau}\），其中\（\tau\）位于复半平面\（operatorname{Im}（\tau）>0），那么\[\总和{n=0}^{\infty}\frac{2^{2k-1}q^{2n+1}P_{2k-2}^e（q^{2n+1}）}{（1-q^{2n+1）^{2k}}-T_2k}（\tau/2）=q^{k/2}d_k\prod_{n=1}^{infty}\frac{。\]在上面，（P_{2k-2}^e（z））是（z）中的次多项式（2k-2），其整数系数是以二项式系数和第二类斯特林数显式给出的，（d_k）是伯努利数（B_{2k}）的有理倍数，（T_{2k{（tau））是在（Gamma_0（4））上的权尖形式。特别是，当（q）从单位圆盘内部趋向于（1）时，（T_{2k}（tau/2）趋向于（0）。（k）奇数也有类似的定理。在开始时，（T_{2k}（τ））没有明确给出，但后来它是根据在（q^2）中计算的Dirichlet（eta）函数的第（4k）次幂和一个权重为（2k）的特定Eisenstein级数（H_{2k{（tau））给出的，该级数的系数与除数的（2k-1）次幂之和有关。
证明将右侧的（q）乘积与表示为（4k）三角数之和的（n）的表示数联系起来，而三角数又通过[A.阿塔纳索夫等，Involve 1，No.1，111-121（2008；Zbl 1229.11066号)]. 即使在（k）的情况下，参数（tau/2）的存在也可以解释为这样一个事实，即左手边的第一个（q）和与右手边的（q）乘积之间的差是（q^2）中的一个级数。基于对（k=1,3,5）的数值计算，作者认为这种现象可能也会发生在（k）奇数上，而他没有考虑。
审核人：弗洛里安·卢卡（约翰内斯堡）

引用于4文件

MSC公司：

11比65 二项式系数；阶乘\（q\）-标识
11B73号 贝尔数和斯特林数
2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi））

关键词：

黎曼-泽塔函数;第二类斯特林数;三角形数;上半平面

引文：

Zbl 1229.11066号;Zbl 1459.11051号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Goswami}，《数论研究》5，第1期，第3号论文，第11页（2019年；Zbl 1459.11050）
全文： DOI程序 arXiv公司

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