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马丁·胡岑塔勒;阿努尔夫·詹岑;托马斯·克鲁斯;阮、团安

证明了在半线性热方程的数值逼近中，修正的深度神经网络克服了维数灾难。 （英语） Zbl 1455.65200元

序号部分差异。埃克。申请。 第1期，第2期，第10号论文，第34页（2020年）。
摘要：深度神经网络和其他深度学习方法已成功应用于金融、工程和自然科学中广泛应用的高维非线性抛物型偏微分方程（PDE）的数值逼近。特别是，仿真表明，基于深度学习的算法在半线性偏微分方程解的数值逼近中克服了维数灾难。对于某些线性偏微分方程，也已从数学上证明，深度神经网络在对此类线性偏微分方程式的解进行数值逼近时克服了维数灾难。本文的主要贡献是首次对一类非线性偏微分方程严格证明了这一点。更准确地说，我们证明了在具有梯度相关非线性的半线性热方程的情况下，所使用的深度神经网络的参数数量在PDE维数和规定的近似精度的倒数上最多以多项式形式增长。我们的证明依赖于最近引入的半线性偏微分方程的全历史递归多级Picard近似。

引用于59文件

MSC公司：

65亿75 涉及偏微分方程的初值和初边值问题的概率方法、粒子方法等
65C99个 概率方法，随机微分方程
68T05型 人工智能中的学习和自适应系统
68T07型 人工神经网络与深度学习

关键词：

维数灾难;高维PDE;深度神经网络;基于信息的复杂性;多级Picard近似

软件：

DGM公司
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Hutzenthaler}等人，SN部分差异。埃克。申请。1，第2号，第10号论文，34页（2020年；Zbl 1455.65200）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

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