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斯特凡·施威德

整体同伦理论。 （英语） Zbl 1451.55001号

新数学专著34.剑桥：剑桥大学出版社（ISBN 978-1-108-42581-0/hbk；978-1-108/34916-1/电子书）。xvii，第828页。(2018).
这本专著发展了一个全局等变同伦论，该理论同时研究所有紧致李群的等变现象。这里采用的方法与J.P.C.格林利斯和J.P.五月[数学年鉴（2）146，第3期，509–544（1997；Zbl 0910.55005号)]和依据A.M.Bohmann先生【同源同伦申请16，No.1，313–332（2014；Zbl 1356.55009号)].
回想一下，正交谱（X）是一系列具有正交群（O（n））的基点保持作用的基空间（X_n），以及与这些空间相关的适当的等变结构映射（X_n\wedge S^1到X_{n+1}）。正交光谱由引入M.A.Mandell先生等【Proc.Lond.Math.Soc.（3）82，No.2，441-512（2001；Zbl 1017.55004号)]. 它们配备了稳定等价类，为稳定同伦范畴提供了常用的模型。正交谱的优点之一是，它们还为紧致李群上的（G）-等变稳定同伦范畴提供了一个方便的模型，参见M.A.Mandell先生和J.P.五月[等变正交谱和（S）-模。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2002；Zbl 1025.55002号)].
本专著中发展的全球同伦理论的出发点是以下观察。通过显式的点集水平构造，正交谱也可产生任何紧李群（G）的等变正交谱。正交谱图定义为全局稳定等价如果它在所有相关的\（G\）-等变正交谱上诱导\（G\）-等变稳定等价。这种等价概念比稳定等价更精细，因此全局同伦类型编码的结构比通常的稳定同伦类型更多。
这种全局观点的一个关键特征是，由全局同伦类型产生的（G）-等变同伦类型必须满足变（G）的强相容条件。例如，由正交谱（X）表示的全局同伦类型确定了等变同伦群（pi_k^G（X）），对于可变同伦群，这些同伦群通过适当兼容的限制和转移映射相关联。严格交换正交环谱的等变同伦群具有更丰富的结构。
整体同伦理论已经应用于普通等变同伦理论中的问题，例如M.豪斯曼关于（G）-等变球面谱对称乘积的有理等变同伦群的工作[Geom.Topol.22，No.3，1547-1591（2018；Zbl 1411.55007号)]或关于交换紧李群的等变复bordism环[M.豪斯曼，“全局群定律和等变Bordis环”，预印本，arXiv:1912.07583年]. 还有一种将全局同伦论类型解释为真正的轨道上同调理论。
这本专著的结构如下。
第一章研究了全局等变同伦理论的不稳定版本。这里考虑的对象是正交空间即范畴有限维实内积空间上的连续空间值函子和线性等距嵌入。这些正交空间接受了全局等价的概念，即上述全局稳定等价的不稳定对应项。
第二章是关于超交换幺半群的。根据定义，这些是关于正交空间上Day卷积积的交换幺半群。由于J.A.林德【Algebr.Geom.Topol.13，No.4，1857-1935（2013；Zbl 1271.55008号)]，当被视为非等变对象时，这些表示\（E_{\infty}\）-空间。在全局等变上下文中没有这样的等价性，也就是说，当达到全局等价性时，超交换幺半群编码的数据比\（E_{infty}\）-对象更多。超交换幺半群的例子来自经典李群、格拉斯曼群或分类空间结构的族。几种已知非等方差等价的分类空间结构导致了非等价的不稳定全局同伦类型。
第三章是对Mandell和May首先开发的等变正交谱理论的完整回顾[loc.cit.]。这里涉及的主题包括Wirthmüller同构、双陪集公式、正交G谱的粉碎积和正交G谱同伦群上的诱导配对。
第四章研究了正交谱的整体同伦理论。作者引入了一个全局函子的概念，它对正交谱的全局同伦群的结构进行编码。这包括限制和传输映射及其兼容性。他开发了模型结构，其中全局等价物（或紧致李群族的变体）作为弱等价物参与。他还研究了生成的三角范畴的特征，并比较了不同紧李群族的全局稳定同伦范畴。
第五章是关于超交换环谱。根据定义，这些是交换正交环谱，被认为是全局稳定等价的。在上述不稳定情况下，超交换环谱与（E_{infty}）环谱不等价。研究了超交换环谱同伦群的代数结构。特别地，他表明第零同伦群允许产生全局幂函子该结构在各种示例中进行了研究。作者还构造了超交换环谱的模型结构，并证明了所有全局幂函子都是作为超交换环频谱的第零同伦群出现的。
第六章研究了各种类型的Thom谱和拓扑理论谱的全局等变特征。在许多情况下，存在不同的全局同伦类型，其底层的非等变同伦类型是一致的。不同的全局同伦类型产生了不同的等变上同调理论，这些理论以前曾一次研究过一个紧李群。本章还讨论了等变bordism与全球Thom谱产生的等变同源理论之间的关系。
这本书以三个附录结尾。第一个收集了关于紧凑生成空间的各种结果，这些结果分布在已发表和未发表的文献中。第二个附录提供了关于\（G\）-空间的等变同伦论的结果，最后一个附录是关于丰富函子范畴的结果。
总的来说，本专著对研究生和对等变同伦理论感兴趣的研究人员来说是一个非常有价值的来源。这篇文章写得很仔细，包含了很多例证。评论家预计，本书中的许多结果、构造和示例也将对那些主要对全局同伦理论不感兴趣的读者有用。
审核人：斯特芬·萨加夫（奈梅亨）

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MSC公司：

55-02 代数拓扑学的研究综述（专著、调查文章）
55页91 代数拓扑中的等变同伦理论
55页42 稳定同伦理论，谱
55页第43页 具有附加结构的光谱（（E_infty）、（A_infty\）、环光谱等）
19层47 等变\（K\）理论

关键词：

等变同伦理论;正交谱

引文：

Zbl 0910.55005号;Zbl 1356.55009号;Zbl 1017.55004号;Zbl 1025.55002号;Zbl 1411.55007号;Zbl 1271.55008号
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\textit{S.Schwede}，整体同伦理论。剑桥：剑桥大学出版社（2018；Zbl 1451.55001）
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