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巴拉契夫（F.Balacheff）。;南卡拉姆。

具有非零单形体积流形的宏观Schoen猜想。 （英语） Zbl 1450.53049号

事务处理。美国数学。Soc公司。 372，第10号，7071-7086（2019）.
本文建立了非零闭黎曼流形的有趣不等式简单体积。对于闭流形\（M\），其单纯形体积用\（||M||\）表示。本文的第一个定理如下：存在一个依赖于维数的一致常数（alpha_n），如果（M，g）是满足（mathrm{vol}（M）<alpha_n||M||）的闭黎曼流形，则泛覆盖中存在一个点（y\in\widetildeM\），使得对于（R\geq1\），\[\mathrm｛vol｝（B（y，R））/\mathrm｛vol｝（B（y，R/2））>\mathrm{v}（v）_{\mathrm{hyp}}（R）/\mathrm{v}（v）_{\mathrm{hyp}}（R/2），\]其中\（\mathrm{v}（v）_{\mathrm{hyp}}（R）表示双曲空间中半径为（R）的球的体积。作者将这一结果视为Schoen关于标量曲率猜想的宏观版本，通过使用标量曲率在\（y\）处的表达式，该表达式涉及\（\mathrm｛vol｝（B（y，R））/\mathrm｛vol｝（B（y，R/2））\），如\（R\ to 0\）。
此外，他们利用这个结果证明了以下定理：存在一个依赖于维数的一致常数，使得对于满足（mathrm{vol}（M）<c_n||M||）的负曲率黎曼闭流形，在泛覆盖中有一个点（y\in\widetildeM），使得对于（R\geq1），\[\矩阵{vol}（B（y，R））>\mathrm{v}（v）_{\mathrm{hyp}}（R）。\]定理1.3是针对双曲流形提出的，但正如作者所解释的，它适用于具有非零单形体积的流形。这个结果与一个猜想有关L.古斯[数学年鉴（2）173，第1期，51–76（2011；Zbl 1232.53032号)].
证明的主要成分是所谓的平滑不等式M.格罗莫夫《公共数学》，高等科学研究院，56，5-99（1982；Zbl 0516.53046号)]这涉及到黎曼体积、单纯形体积和万有覆盖中球的体积。作者对这一技术进行了全面介绍，这一技术非常有趣，也许还不太为人所知。
审核人：琼·波蒂（贝拉特拉）

引用于9文件

MSC公司：

53立方厘米 全局几何和拓扑方法（a la Gromov）；度量空间的微分几何分析

关键词：

古斯猜想;肖恩猜想;平滑不等式

引文：

Zbl 1232.53032号;Zbl 0516.53046号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{F.巴拉契夫}和\textit{S.卡拉姆}，翻译。美国数学。Soc.372，No.10，7071--7086（2019；Zbl 1450.53049）
全文： 内政部 arXiv公司

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