马尼亚·萨博里；迈赫迪·德汉 一种求解含时非线性扩散方程的高效隐式谱元方法，通过计算一个求积点上的积分。 （英语） Zbl 1443.65252号 计算。数学。申请。 70，第10号，2513-2541（2015）. 摘要：我们提出了一种隐式谱元方法来近似求解复杂几何中含时非线性扩散方程。我们提出了一种节点展开法来近似未知函数的导数，从而在一个求积点上计算包含非线性的积分，并在不形成局部和全局刚度矩阵的情况下获得非线性扩散方程的离散形式。使用线性方法（MoL），将非线性偏微分方程简化为非线性常微分方程组，从而根据微分矩阵而不是刚度矩阵导出MoL公式。由于产生的系统是刚性的，因此采用隐式方法求解。此外，通过一个简单的算法，我们得到了非线性代数方程组雅可比矩阵的一个封闭的解析形式。此外，还得到了三角形单元、变形四边形和六面体单元的微分矩阵。对于变形元素，使用等参映射，其中通过Gordon-Hall映射获得膨胀系数。进行了几个基准测试，包括这些方程的标量和系统。作为物理应用，考虑了长期细胞运动模型、混合四边三角形网格上的肿瘤血管生成模型以及各种参数选择的二维和三维拉普拉斯方程。 引用于4文件 MSC公司： 65M70型 偏微分方程初值和初边值问题的谱、配置及相关方法 65平方米 涉及偏微分方程的初值和初边值问题的线方法 35K59型 拟线性抛物型方程 关键词：谱元法；线性方法；非线性扩散方程；解析雅可比矩阵；细胞运动与肿瘤血管生成模型；\（p\）-拉普拉斯方程 软件：代码113；代码45；奥德15；代码23；菲亚特；bvp4c；Matlab公司；MATLAB ODE套件；代码23；运营质量；差异矩阵套件 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛M.Sabouri｝和\textit｛M.Dehghan｝，计算机。数学。申请。70，第10号，2513--2541（2015；Zbl 1443.65252） 全文： 内政部 参考文献： [1] 阿尔瓦雷斯，L。；狮子，P.L。；Morel，J.M.，图像选择性平滑和非线性扩散边缘检测。二、 SIAM J.数字。分析。，29, 845-866 (1992) ·Zbl 0766.65117号 [2] 米歇尔·冈萨雷斯，E。；Cho，M.H。；Lee，S.Y.，几何非线性扩散滤波器及其在X射线成像中的应用，生物医学。Eng.Online，10，47（2011年） [3] 埃伯尔，H.J。；Khassehkhan，H。；Demaret，L.，益生菌生物膜控制系统的混合培养模型，计算。数学。方法医学，11，99-118（2010）·兹比尔1202.92037 [4] Efendiev，医学硕士。；埃伯尔，H.J。；Zelik，S.V.，生物膜建模中产生的非线性反应扩散系统解的存在性和长期行为，RIMS京都，125849-71（2002） [5] 穆罕默德，N。；Eberl，H.J.，双物种生物膜竞争模型中的模型参数不确定性对生态输出参数的影响比形态学参数强得多，数学。生物科学。，233, 1-18 (2011) ·Zbl 1226.92069号 [6] 格雷厄姆（J.M.Graham）。；Ayati，B.P.，集体细胞入侵中定向和非定向运动的统一术语，应用。数学。莱特。，25, 2267-2271 (2012) ·Zbl 1388.92006年 [7] 巴杜阿尔，M。；德鲁尔斯，C。；奥伯特，M。；Grammaticos，B.，《模拟细胞间通信及其对肿瘤侵袭的影响》，Phys。生物学，7，第046013条pp.（2010） [8] Berres，S。；Ruiz-Baier，R.，具有非线性交叉扩散的二维流行病模型的完全自适应数值近似，非线性分析。真实世界应用。，12, 2888-2903 (2011) ·Zbl 1219.92059号 [9] 奥尔森，L。；Sherrat，J.A。；Maini，P.K。；Arnold，F.，创伤愈合血管生成中毛细血管内皮细胞-细胞外基质相互作用的数学模型，IMA J.Math。申请。医学生物学。，14, 261-281 (1997) ·Zbl 0891.92016号 [10] Satnoianu，R.A。；Maini，P.K。；加杜诺，F.S。；Armitage，J.P.，细菌模式形成的非线性简并扩散模型中的行波，离散Contin。动态。系统。序列号。B、 1339-362（2001）·Zbl 1021.34038号 [11] 安圭，K。；Schmeiser，C.，《细胞扩散和聚集的一维模型，包括体积填充和细胞间粘附》，J.Math。《生物学》，58395-427（2009）·Zbl 1162.92009年 [12] Lushnikov，P.M。；陈，N。；Alber，M.，《生物细胞通过趋化性和直接接触相互作用的宏观动力学》，Phys。E版，78，第061904条，pp.（2008） [13] Hillen，T。；Painter，K.J.，趋化性PDE模型用户指南，数学杂志。生物学，58，183-217（2009）·Zbl 1161.92003号 [14] Wazwaz，A.M.，《偏微分方程和孤立波理论》（2009），高等教育出版社，斯普林格出版社·Zbl 1175.35001号 [15] Dehghan，M.，解决某些光电器件建模和设计中出现的问题的有限差分程序，数学。计算。模拟。，71，16-30（2006年）·Zbl 1089.65085号 [16] Changzheng，Q.，通过广义条件对称方法获得的非线性扩散方程的精确解，IMA J.Appl。数学。，62, 283-302 (1999) ·Zbl 0936.35039号 [17] 新墨西哥州伊万诺娃。；Sophocleous，C.，关于变系数非线性扩散-对流方程的群分类，J.Compute。申请。数学。，197, 322-344 (2006) ·Zbl 1103.35007号 [18] Hood，S.，《关于非线性扩散方程的直接隐式约化与Clarkson和Kruskal方法的任意函数推广》，IMA J.Appl。数学。，64, 223-244 (2000) ·Zbl 0958.35015号 [19] Arraás，A。；Portero，L。；Jorge，J.C.，非线性抛物问题的局部线性分步方法，J.Compute。申请。数学。，234, 1117-1128 (2010) ·Zbl 1189.65211号 [20] 托罗，E.F。；Hidalgo，A.，非线性反应扩散方程的ADER有限体积格式，应用。数字。数学。，59, 73-100 (2009) ·Zbl 1155.65065号 [21] Mikula，K。；Ramarosy，N.，解图像处理中非线性扩散方程的半隐式有限体积格式，Numer。数学。，89, 561-590 (2001) ·Zbl 1013.65094号 [22] 汉堡，M。；卡里略，J.A。；Wolfram，M.T.，非线性扩散方程的混合有限元方法，Kinet。关系。模型，359-83（2010）·Zbl 1194.35026号 [23] 罗贝尔，L.C。；Brebbia，C.A.，非线性扩散问题的双互易边界元公式，计算。方法应用。机械。工程，65，147-164（1987）·Zbl 0612.76094号 [24] Lewandowski，J.L.V.，非线性扩散方程解的标记方法，J.Compute。申请。数学。，196523-539（2006年）·Zbl 1099.65093号 [25] 瓦伦西亚诺，J。；Chaplain，M.A.J.，应用于偏微分方程肿瘤血管生成系统的线的显式亚计量谱元方法，数学。模型方法应用。科学。，14, 165-187 (2004) ·兹比尔1043.92017 [26] 彼得森，J.W。；凯里，G.F。；Knezevic，D.J。；Murray，B.T.，肿瘤血管生成建模的自适应有限元方法，国际。J.数字。方法工程，69，1212-1238（2007）·Zbl 1194.74461号 [27] Patera，A.T.，《流体动力学的谱元方法：通道扩张中的层流》，J.Compute。物理。，54, 468-488 (1984) ·Zbl 0535.76035号 [28] 朱伟。；Kopriva，D.A.，《具有单一资产和随机波动性的欧洲期权定价的谱元近似法》，J.Sci。计算。，42, 426-446 (2010) ·Zbl 1203.91307号 [29] 林奎斯特，J.M。；内塔，B。；Giraldo，F.X.，对时间和非反射边界进行高阶处理的Klein-Gordon方程的谱元解，《波动》，47，289-298（2010）·Zbl 1231.76158号 [30] 塞里亚尼，G。；Oliveira，S.P.，弹性波传播谱元方法的色散分析，《波动》，45，729-744（2008）·Zbl 1231.74185号 [31] 赞皮耶里，E。；Pavarino，L.F.，声波的显式二阶谱元方法，高级计算。数学。，25, 381-401 (2006) ·Zbl 1118.65106号 [32] 胶带，C。；刘，Q。；Maggi，A。；Tromp，J.，基于光谱元素和伴随方法的南加州地壳地震层析成像，地球物理。《国际期刊》，180，433-462（2010） [33] 博达尔，N。；布法奈斯，R。；Deville，M.O.，用谱元法求解移动边界问题，应用。数字。数学。，58, 968-984 (2008) ·Zbl 1140.76029号 [34] Belgacem，F.B。；Bernardi，C.，麦克斯韦方程的谱元离散化，数学。压缩机。，68, 1497-1520 (1999) ·兹比尔0932.65110 [35] 吉拉尔多·F·X。；Warburton，T.，球上浅水方程的基于节点三角形的谱元方法，J.Compute。物理。，207, 129-150 (2005) ·Zbl 1177.86002号 [36] 梅赫迪扎德，O.Z。；Paraschivoiu，M.，《亥姆霍兹方程二维谱元方法的研究》，J.Compute。物理。，189, 111-129 (2003) ·Zbl 1024.65112号 [37] Mund，E.H.，中子输运方程的谱元解，计算与流体，43，102-106（2011）·Zbl 1452.82033号 [38] Zhao，J.M。；Liu，L.H。；Hsu，P.-f。；Tan，J.Y.，矢量辐射传输方程的谱元法，J.Quant。光谱学。辐射。，111, 433-446 (2010) [39] Dehghan先生。；Sabouri，M.，大空间域上的Legendre谱元方法，用于解决捕食者-食饵系统建模交互种群，应用。数学。型号。，37, 1028-1038 (2013) ·Zbl 1352.65389号 [40] Dehghan先生。；Sabouri，M.，使用三角形和四边形元素求解Pennes生物传热方程的谱元素方法，应用。数学。型号。，366031-6049（2012年）·Zbl 1349.74320号 [41] Fakhar-Izadi，F。；Dehghan，M.，使用模态基的谱元方法及其在求解二阶非线性偏微分方程中的应用，数学。方法应用。科学。，38, 478-504 (2015) ·Zbl 1307.65138号 [43] 卡努托，C。；侯赛尼，M.Y。；Quarteroni，A。；Zang，T.A.，《谱方法向复杂几何的演变及在流体动力学中的应用》（2007），Springer·Zbl 1121.76001号 [44] 卡尼亚达基斯，G.E。；Sherwin，S.J.，《CFD的光谱/（h p）元素方法》（2005），牛津大学出版社·Zbl 1116.76002号 [45] Chen，Z.，有限元方法及其应用（2005），Springer·Zbl 1082.65118号 [46] 伦奎斯特，E.M。；Patera，A.T.，斯特凡问题的勒让德谱元方法，国际。J.数字。方法工程，24，2273-2299（1987）·Zbl 0632.65126号 [47] 赫塞文，J.S。；哥特利布，S。；Gottlieb，D.，《时间相关问题的谱方法》（2007），剑桥大学出版社·Zbl 1111.65093号 [48] Taylor，医学硕士。；Wingate，B.A。；Vincent，R.E.，计算三角形中Fekete点的算法，SIAM J.Numer。分析。，38, 1707-1720 (2000) ·Zbl 0986.65017号 [49] Gejji，R。；Kazmierczak，B。；Alber，M.，宏观细胞运动模型整体非均匀解的分类和稳定性，数学。生物科学。，238, 21-31 (2012) ·Zbl 1250.92001年 [50] Pozrikidis，C.，《使用Matlab的有限元和谱元方法简介》（2005），Chapman和Hall/CRC·Zbl 1078.65109号 [51] 魏德曼，J.A.C。；Reddy，S.C.，A Matlab微分矩阵套件，ACM Trans。数学。软件，26，465-519（2000） [52] 巴尔登斯珀格，R。；特朗默，M.R.，《扭曲的光谱差分》，SIAM J.Sci。计算。，24, 1465-1487 (2003) ·兹伯利1034.65016 [53] Schiesser，W.E.，《线的数值方法》（1991），学术出版社：纽约学术出版社·Zbl 0763.65076号 [54] Schiesser，W.E。；Griffiths，G.W.，《偏微分方程模型简编：用Matlab进行线性分析的方法》（2009），剑桥大学出版社·兹比尔1172.65002 [55] （Vande Wouwer，A.；Saucez，Ph.；Schiesser，W.E.，《线的自适应方法》（2001），CRC出版社：CRC出版社Boca Raton）·Zbl 0986.65083号 [56] Kirby，R.M。；Karniadakis，G.E.，《非均匀网格上的去混叠：算法和应用》，J.Compute。物理。，191, 249-264 (2003) ·Zbl 1161.76534号 [57] Maday，Y。；Rönquist，E.M.，谱方法的最佳误差分析，重点是非恒定系数和变形几何，计算。方法应用。机械。工程，80，91-115（1990）·Zbl 0728.65078号 [58] Ohlsson，J。；施拉特，P。；菲舍尔，P.F。；Henningson，D.S.，《湍流模拟中谱元方法的稳定性》，（Hesthaven，J.S.；Rönquist，E.M.，《偏微分方程的谱和高阶方法》，《计算科学与工程讲义》，第76卷（2011年），斯普林格·弗拉格：柏林斯普林格尔·弗拉格，海德堡）·Zbl 1430.76315号 [59] Milovanović，G.V.，《具有多个节点的四次方、幂正交性和矩保样条逼近》，J.Compute。申请。数学。，127, 267-286 (2001) ·兹伯利0970.65023 [60] Gautschi，W.，《正交多项式计算与逼近》（2004），牛津大学出版社·Zbl 1130.42300号 [61] Lombardi，G.，使用单项式变换设计Müntz和Münt z对数多项式的求积规则，国际。J.数字。方法工程，80，1687-1717（2009）·Zbl 1183.65025号 [62] Shampine，L.F。；格拉德威尔，I。；Thompson，S.，用Matlab求解常微分方程（2003），剑桥大学出版社·Zbl 1079.65144号 [63] Shampine，L.F。；Reichelt，M.W.，Matlab ODE套件，SIAM J.Sci。计算。，18, 1-22 (1997) ·Zbl 0868.65040号 [64] Skeel，R.D。；Berzins，M.，一种在一个空间变量中对抛物方程进行空间离散的方法，SIAM J.Sci。统计计算。，11, 1-32 (1990) ·Zbl 0701.65065号 [65] Deville，M.O。；菲舍尔，P.F。；Mund，E.H.，（不可压缩流体流动的高阶方法。不可压缩流动的高阶方法，剑桥应用和计算数学专著（2002），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社，纽约）·Zbl 1007.76001号 [66] 卡努托，C。；侯赛尼，M.Y。；Quarteroni，A。；Zang，T.A.，《单域光谱方法基础》（2006），施普林格出版社·Zbl 1093.76002号 [67] 戈登·W·J。；霍尔，C.A.，《曲线坐标系的构造及其在网格生成中的应用》，国际。J.数字。方法工程，7461-477（1973）·Zbl 0271.65062号 [68] 戈登·W·J。；Hall，C.A.，《跨有限元方法：任意曲线单元域上的混合函数插值》，数值。数学。，21, 109-129 (1973) ·兹比尔0254.65072 [69] Hesthaven，J.S.，《从静电学到单纯形多项式插值的几乎最优节点集》，SIAM J.Numer。分析。，35, 655-676 (1998) ·Zbl 0933.41004号 [70] Dubiner，M.，《三角形和其他域上的谱方法》，J.Sci。计算。，6, 345-390 (1991) ·Zbl 0742.76059号 [71] Kirby，R.C.，算法839:FIAT，计算有限元基函数的新范式，ACM Trans。数学。软件，30，502-516（2004）·Zbl 1070.65571号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。