奥尔加·波尔维里诺；费迪南多·祖洛 关于一些线性化多项式的根数。 （英语） Zbl 1442.11164号 线性代数应用。 601, 189-218 (2020). \（\mathbb上的线性多项式{F}（F）_{q^n}\）是形式为\（sum_{i=0}^ma_ix^{\sigma^i}\）的多项式，其中\（\sigma\）是Galois群\（\mathrm{Gal}（\mathbb｛F｝_{q^n}，\mathbb{F}（F）_{q} ）和（a_i\in\mathbb{F}（F）_{q^n}\）。每个线性化多项式定义一个\（mathbb{F}（F）_{q} \）-来自\（\mathbb）的线性映射{F}（F）_{q^n}\）到自身。对于两个线性化多项式（L_1）和（L_2），它们定义了相同的（mathbb{F}（F）_{q} \）-线性映射当且仅当\（L_1\equiv L_2\pmod{x^{q^n}-x}\）。确定\（\mathbb的等级{F} （_q）\)-线性化多项式定义的线性映射（sum{i=0}^{n-1}a_ix^{sigma^i}），可以计算相关Dickson矩阵的秩\[\开始{pmatrix}a0&a1&\cdots&a{n-1}\\a{n-1}^\σ&a{0}^\∑&cdots&a{n-2}^\西格玛\\\vdots和\vdots\\a{1}^{\西格玛^{n-1}}&a{2}^{\sigma^{n-1}}&\cdots&a{0}^{\sigma^{n-1'}\结束{pmatrix}。\]然而，对于一些特殊形式的线性化多项式，可能有更容易的准则。在本文中，作者考虑了该形式的线性化多项式\[ax+b_0x^{q^s}+b_1x^{q^{s+n}}+b2x^{q ^{s+2n}}+cdots+b_{t-1}x^{q^{s+n（t-1）}}在mathbb中{F}（F）_{q^{nt}}[x]\]其中\（\gcd（s，n）=1\）。他们通过处理比相关的Dickson矩阵和伴随矩阵小得多的矩阵，获得了确定其秩的准则。在最后一节中，他们使用这个准则来确定射影线的线性集族，其中包含大多数已知的离散线性集族。审核人：岳州（长沙） 引用于16文件 MSC公司： 2006年11月 有限域上的多项式 15A04号 线性变换、半线性变换 51E20型 有限射影空间中的组合结构 关键词：线性化多项式；双线性变换；线性集合 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{O.Polverino}和\textit{F.Zullo}，线性代数应用。601189--218（2020年；Zbl 1442.11164） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 巴托利，D。；Csajbók，B。；Montanucci，M.，关于\（\mathbb的最大散射子空间的一个猜想{F}（F）_{q^6}\times\mathbb{F}（F）_{q^6}（2020） [2] 巴托利，D。；朱利埃蒂，M。；马里诺，G。；Polverino，O.，Galois空间中的最大分散线性集和完全帽，Combinatorica，38，2，255-278（2018）·Zbl 1399.51006号 [3] 巴托利，D。；Montanucci，M.，《走向例外分散多项式的完全分类》（2019） [4] 巴托利，D。；扎内拉，C。；Zullo，F.，（2019）中最大分散线性集的一个新族 [5] 巴托利，D。；周瑜，《例外散射多项式》，《J.代数》，509，507-534（2018）·Zbl 1393.51002号 [6] Blokhuis，A。；Lavrauw，M.，《关于排列的分散空间》，Geom（operatorname{PG}（n，q））。Dedic.公司。，81, 231-243 (2000) ·兹比尔0990.51004 [7] Csajbók，B.，《标量q次等式和Dickson矩阵》，《代数杂志》，547116-128（2020）·Zbl 1469.11466号 [8] Csajbók，B。；马里诺，G。；Polverino，O.，《线性集的类与等价》，J.Comb。理论，Ser。A、 157402-426（2018）·Zbl 1390.51006号 [9] Csajbók，B。；马里诺，G。；波兰，O。；Zanella，C.，MRD码的新家族，线性代数应用。，548, 203-220 (2018) ·Zbl 1401.51006号 [10] Csajbók，B。；马里诺，G。；波兰，O。；Zullo，F.，具有最大核的线性化多项式的特征，有限域应用。，56, 109-130 (2019) ·Zbl 1411.11127号 [11] Csajbók，B。；马里诺，G。；Zullo，F.，射影线的新最大散射线性集，有限域应用。，54, 133-150 (2018) ·Zbl 1401.51007号 [12] Csajbók，B。；Zanella，C.，最大分散度{F} （_q）\)-\（\operatorname{PG}（1，q^4）\）的线性集，离散数学。，341、74-80（2018）·Zbl 1387.51008号 [13] De Boeck，M。；de Van，G.，Voorde:KM-arcs上的线性集合视图，J.代数梳。，44, 1, 131-164 (2016) ·Zbl 1346.51002号 [14] Dempwolff，美国。；费希尔，J.C。；Herman，A.，有限域上的半线性变换是Frobenius映射，Glasg。数学。J.，42，2289-295（2000年）·Zbl 0961.20041号 [15] Gow，R。；Quinlan，R.，Galois扩张和具有特殊秩性质的交替双线性形式的子空间，线性代数应用。，430, 2212-2224 (2009) ·Zbl 1211.15030号 [16] 高，R。；昆兰，R.，伽罗瓦理论与线性代数，线性代数应用。，430, 1778-1789 (2009) ·Zbl 1191.12001号 [17] Katz，N.，Soto-Andrade总和估算，J.Reine Angew。数学。，438, 143-161 (1993) ·Zbl 0798.11053号 [18] Korchmáros，G。；Mazzocca，F.，On\（（q+t）\）-在q，Math级的desarguesian平面中的\（0，2，t）型弧。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.，108，3，445-459（1990）·Zbl 0716.51010号 [19] 拉夫劳，M。；马里诺，G。；波兰，O。；Trombetti，关于秩2半场的同位素问题的解决方案，J.Comb。设计。，23, 2, 60-77 (2015) ·2011年9月13日Zbl [20] 里德尔，R。；Niederreiter，H.，《有限域》，《数学及其应用百科全书》，第20卷（1997年），剑桥大学出版社：剑桥大学出版社 [21] Lunardon，G。；Polverino，O.，阻塞集与可导部分扩散，J.代数梳。，14, 49-56 (2001) ·兹比尔1028.51012 [22] 马里诺，G。；蒙塔努奇，M。；Zullo，F.，由mathbb中的三项式（x^q+x^{q^3}+cx^{q^5}产生的MRD码{F}（F）_{q^6}[x]\），线性代数应用。，591, 99-114 (2020) ·Zbl 1437.51006号 [23] McGuire，G。；Mueller，D.，关于具有一定秩的线性三元数的结果（2019） [24] McGuire，G。；Sheekey，J.，系数域中线性化多项式和射影多项式根数的表征，有限域应用。，57, 68-91 (2019) ·Zbl 1475.11217号 [25] 莫伊西奥，M。；Wan，D.，关于具有给定迹和范数的元素数的Katz界，J.Reine-Angew。数学。，638, 69-74 (2010) ·Zbl 1269.11122号 [26] Polverino，O.，有限射影空间中的线性集，离散数学。，310, 22, 3096-3107 (2010) ·Zbl 1228.51008号 [27] 波兰，O。；Zini，G。；Zullo，F.，关于某些高次小维核线性化多项式（2020） [28] Sheekey，J.，线性最大秩距离码的新族，高级数学。社区。，10, 3, 475-488 (2016) ·Zbl 1348.94087号 [29] Trombetti，R。；Zullo，F.，《秩度量码的可译码性列表》，IEEE Trans。通知。理论·Zbl 1448.94296号 [30] 吴，B。；Liu，Z.，有限域上的线性多项式重温，有限域应用。，22, 79-100 (2013) ·Zbl 1345.11084号 [31] Zanella，C。；Zullo，F.，最大分散线性集的顶点性质，离散数学。，343, 5 (2020) ·兹比尔1436.51008 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。