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陈世兵;黄勇;李奇瑞;刘佳坤

（p<1）的（L_p）-Brunn-Minkowski不等式。 （英语） Zbl 1440.52013年

高级数学。 368，文章ID 107166，20 p.（2020）。
经典的Brunn-Minkowski不等式表明，对于（n）维欧氏空间（mathbb{R}^n）中的任何凸体（K）和（L），它们的Minkowski-组合（（1-lambda）K+lambda-L={（1-lampda）x+lambda y:x\ in K，y\ in L\}）的体积满足\[V（（1-\lambda）K+\lambdaL）^{\frac{1}{n}}\geq（1-\lambda）V（K），\标记{1}\]当且仅当\（K\）和\（L\）是同构的。通过算术几何平均不等式，（1）可以重写为\[V（（1-\lambda）K+\lambda-L）\geq V（K）^{1-\lampda}V（L）^{\lambda}。\标记{2}\]
20世纪60年代，W.J.Firey公司《数学扫描》第10卷、第17卷至第24卷（1962年；Zbl 0188.27303号)]将凸体的Minkowski组合推广到（p\geq 1）的所谓的Minkovski组合（（1-\lambda）\cdot K+_p\lambda\cdot L）。更准确地说，当（p>1）和（K，L）是在其内部包含原点的凸体时，（（1-\lambda）\cdot K+_p\lambda\cdot L）的支持函数被定义为（h_{K，L，p}:=\左（1-\lambda）h_K^p+\lambda h_L^p\右）^{frac{1}{p}）。Firey还建立了相应的Brunn-Minkowski型不等式（现在称为（L_p）-Brunn-Minkowski不等式或Brunn-Winkowski-Firey不等式）\[V（（1-\lambda）\cdot K+_p\lambda \cdot L）\geq V（K）^｛1-\lambda｝V（L）^｛\lambda｝，\标记{3}\]当且仅当\（K=L\）。
这一主题的一个重大进展是Böröczky、Lutwak、Yang和Zhang的工作[K·Böröczky jun。等，高级数学。第231期，第3-4期，1974年至1997年（2012年；Zbl 1258.52005号)]. 他们将Firey的（L_p）Minkowski组合推广到所有实数（p\in\mathbb{R}）。当（p<1）时，（L_p）Brunn-Minkowski不等式（3）仍然是一个开放问题。在本文中，作者研究了这个有趣的问题。
在定理1.1中，他们证明了（L_p）-Brunn-Minkowski不等式（3）对原始对称凸体和（p_In（p_0,1））成立，其中（p_0）需要满足\[p_0\geq 1-\inf_{K\in\mathcal{K} （_e）}\sup_{T\在GL_n}\压裂{1}{D（TK）}中。\]这里，（D（TK）是一个满足的常数，其中，（r，r）是（TK\）的内半径和外半径，（C_{poin}）是域中Poincaré不等式的最佳常数。
利用PDE方法，作者将Kolesnikov和Milman的[Local（L_p）-Brunn-Minkowski不等式（p＜1），Amoirs of the AMS，in press]Minkowski问题的局部唯一性推广到定理1.4中的全局唯一性。此外，他们还获得了定理1.5中当（p\in（p_0,1））时的（L_p）Minkowski不等式，以及定理1.6中一些假设下log-Minkowski问题的唯一性。
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引用于27文件

MSC公司：

52A40型 凸几何中涉及凸性的不等式和极值问题

关键词：

\（L_p）-Brunn-Minkowski不等式;对数-Minkowski不等式

引文：

兹比尔0188.27303;兹比尔1258.52005
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\textit{S.Chen}等人，高级数学。368，文章ID 107166，20 p.（2020；Zbl 1440.52013）
全文： 内政部

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