迈克尔·鲁赞斯基；苏拉甘、杜尔武德汗 齐次群上的Hardy不等式。哈代不平等100年。 （英语） Zbl 1428.2011年 数学进步327.查姆：Birkhä用户（ISBN 978-3-030-02894-7/hbk；978-3-0.30-02895-4/电子书）。十六、571页。，开放存取（2019年）。 这本书致力于研究Hardy不等式和类似的不等式，Rellich，Sobolev，Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式关于齐次Lie群。对这类群体进行分析的基础是由G.B.福兰德和E.M.斯坦因在他们的开创性著作《哈代空间论同质群》中，新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1982；兹比尔0508.42025)]. 从那时起，对同质群分析的不同方面进行了研究。该理论与亚椭圆和亚椭圆偏微分算子的分析密切相关。上述所有不等式对偏微分方程都具有根本重要性。Ruzhansky和Sugaran的专著是第一本收集齐次群上不同类型的Hardy不等式和类似不等式的结果的专著。作者试图写一本自足的书，因此第一章是对齐次群理论和相应的非交换调和分析的介绍。这六十页的章节并不是一篇全面的论文，但它是对本书其余部分中使用的工具的详尽描述。回顾了齐次群、分层群、海森堡群和H型群的定义和基本事实。特别地，引入了齐次拟模、极坐标、径向导数（mathcal{R}）、Euler算子（mathbb{E}）和次拉普拉斯算子（mathca{L}）的概念。第二章研究了齐维齐次群（mathbb{G}）和齐次拟模（|\cdot|\）上的Hardy不等式。这里可以找到对不平等的不同类型和方面的详尽描述。基本格式如下：\[\|\frac{f}{|x|}\|_{L^p（\mathbb{G}）}\le\frac}{Q-p}\|\mathcal{R} （f）\|_{L^p（\mathbb{G}）}，C^\infty_o（\mat血红蛋白{G}\setminus\{0\}）中的四元f，\quad 1<p<Q.]但除了上述不等式外，还考虑了以下主题：加权Hardy不等式（均具有权重）和（frac{（a+b|x|alpha}）^\frac{p}{x|^m}），高阶Hardy不等式，二权Hardy不等式和临界Hardy不等式。此外，作者还讨论了拟球上改进的Hardy不等式、剩余估计以及临界和次临界Hardy不等式的稳定性。在下一节中，将研究Rellich-、Caffarelli-Kohn-Nirenberg-和Sobolev型不等式。这些不等式的基本版本如下所示。设C^\infty_o（\mathbb{G}\setminus\{0}）中的f。那么对于\（1<p<Q），我们有\[frac{|Q+p'\alpha|}{p'}\|\frac{f}{|x|^{\alpha+1}}\|_{L^p（\mathbb{G}）}\le\|\ frac{1}{|x |^alpha}（\mathcal{R} （f）+\frac{Q-1}{|x|}）\|_{L^p（\mathbb{G}{E} （f）\|_{L^p（\mathbb{G}）}，\qquad 1<p<infty，\]（Sobolev型不等式。此外，如果（\alpha，\beta\in\mathbb{R}），（Q\ge2）和（\gamma=\alpha+\beta+1），则Caffarelli-Kohn-Nirenberg型的下列不等式成立\[frac{|Q-\gamma|}{p}\frac{f}{|x|^ _{L^p（\mathbb{G}）}\le\|\frac{1}{|x|^\alpha}（\mathcal{R} （f）{L^p（\mathbb{G}）}\|\压裂{f}{x|^\压裂{beta}{p-1}}，\qquad 1<p<infty本章还讨论了高阶不等式和加权不等式。此外，作者还考虑了常数的最优性、稳定性问题和余数估计。推广了Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式的参数范围。此外，在左侧第一范数下证明了一类新的带有附加项的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式。在第四章中，给出了关于Hardy型不等式、Sobolev型不等式、Caffarelli-Kohn-Nirenberg型不等式和Gagliardo-Nirenberg不等式的分数形式的结果。现在Gagliardo半范数\[[f]_{s，p，|\cdot|}:=\Big（\int_\mathbb{G}\int_\ mathbb}\frac{|f（x）-f（y）|^p}{|y^{-1}x|^{Q+sp}}dxdy\Big）^{1/p}，\qquad s\in（0,1）\]用于不等式的左侧。在本章中，还研究了分数次（p）-次Laplacian（-Delta_p）^s）和Riesz势的Lyapunov不等式。最后一小节专门讨论分层李群上亚拉普拉斯算子分数次幂的Hardy型和Landau-Kolmogorov型不等式。第五章讨论了齐次群上Hardy不等式的积分形式。导出了这些不等式权重的充要条件。还考虑了不等式的卷积形式。证明了其他一些积分不等式。特别地，Hardy-Littlewood-Sobolev不等式\[left|\int_{mathbb{G}}\int_}\mathbb}}\frac{\overline{f（x）}G（y）}{|x|^\alpha|y|^{-1}x|^\lambda}\right|dxdy\le\|f\|_{L^p（\mathbb{G}）}\|G\|{L^q（\mathbb{G{）}，\qquad\frac{1}{p}+\frac{1}}{q}+\frac{alpha+\lambda{q}=2\]，带有\（0<lambda<q\），\（1<p，q<infty\）\（）\le\alpha<q（1-\frac{1}{p}），（alpha+lambdaleQ）被证明。此外，还讨论了微分Stein-Weiss不等式和最大加权积分Hardy不等式。第六章、第七章和第八章是对分层群体的分析。分层允许使用水平梯度、次拉普拉斯距离和三种不同的距离，这三种距离可用于估算：均匀半范数、卡诺-卡拉奇距离、到第一层的欧几里德距离。在第6章中，作者集中讨论了度量的最后选择。考虑了Hardy、Rellich、Sobolev和Caffarelli-Hohn-Nirenberg不等式的水平版本。考虑广泛而深入，因此可以在这里找到一阶不等式和高阶不等式、次临界和临界不等式、未加权和加权不等式、各向同性和各向异性不等式。此外，本文给出了水平Sobolev空间的嵌入定理，以及（p）-次拉普拉斯和带漂移的次拉普拉斯的不等式。另一方面，第7章致力于研究具有（mathcal{L}）-规范权重的估计。规范是由亚拉普拉斯（mathcal{L}）基本解产生的齐次拟形式。再次研究上述所有不等式。此外，这里可以找到一些推广，例如Baouendi-Grushin算子的Hardy不等式和带边界项的加权不等式。在第8章的末尾，给出了分层群上的“几何”Hardy不等式。这些不等式中的权重是根据到域边界的距离给出的\本书的这一部分证明了分层群中半空间和凸域上的（L^p）-Hardy不等式。哈代不等式与相应的不确定性原理有关。因此，不确定度原理在本书的不同地方提到。特别是，在第9章中，讨论了量子力学的主要算符及其在齐次群上的关系。本文给出了齐次群背景下的位置-动量关系、欧拉-库仑关系和海森堡-帕利-韦尔测不准原理。在第10章中，描述了齐次群上的几个函数空间。对这些群上函数空间的分析可以追溯到1982年福兰德和斯坦因的书中，其中引入了哈代空间。在这里，作者定义并分析了Morrey-Campanato空间的性质，以及它们的广义形式，与Euler算子相关的Sobolev空间，Sobolev-Lorentz-Zygmund空间和Besov型空间。在第11章中，作者回到了对分层群体的分析。现在，他们在这种情况下发展了势理论和边界层算子。该分析的主要工具是亚拉普拉斯方程和相应格林恒等式的基本解。这种方法导致了假设（问题3）。首先，描述了亚拉普拉斯方程的经典边值问题、Dirichlet问题、Neumann问题和Robin问题。然后给出了亚拉普拉斯方程的单层和双层势、迹和Kac问题。此外，还讨论了H型群上具有边界项和格林函数的Hardy不等式。本章的最后一节专门讨论了（p）-亚拉普拉斯-皮康不等式。人们可以利用同质群的证明结果来分析一些没有群结构的环境。这在最后一章中完成。在光滑流形（M）上，考虑了作为向量场（sum{k=1}^NX_k^2）平方和的算子（mathcal{L}）。根据著名的Hörmander定理，如果向量场在每个点生成切线空间，则算子是次椭圆的。作者对运算符\（\mathcal｛L｝\）的主要假设是它有一个局部基本解。描述了Hardy不等式的局部版本，包括边界项。相应的权重是根据基本解计算出来的。证明了各向异性局部Hardy不等式。像往常一样，哈代不等式隐含着不确定性原理。证明了平方和的类似局部Rellich不等式。这本书是一本写得很好的关于这个主题的详尽专著。它还包含丰富的参考书目。审核人：Leszek Skrzypczak（波兹南） 引用于89文件 MSC公司： 22E30型 实李群与复李群的分析 22E60年 李群的李代数 35A08型 PDE的基本解决方案 35H10型 亚椭圆方程 43甲80 对其他特定李群的分析 46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理 53立方厘米17 亚黎曼几何 关键词：李群；同质群；分层群体；哈代不等式；Sobolev不等式；Rellich不等式；Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式 引文：Zbl 0508.42025号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Ruzhansky}和\textit{D.Suragan}，齐次群上的Hardy不等式。哈代不平等100年。查姆：Birkhäuser（2019；Zbl 1428.2011） 全文： DOI程序