霍尔，杰克;大卫·瑞德 重新审视了阿廷的代数性标准。 （英语） Zbl 1427.14026号 代数数论 13，第4号，749-796（2019）. 在代数几何中，模空间是通过形成合适的商来构造的，其中最常见的是投影方法。Grothendieck将其推广到点函子，所考虑的主要问题涉及可表示函子，其中表示函子的方案是几何点族的模空间。为了证明可表示性，Grothendieck（与Serre、MacLane等一起）开发了变形理论和形式几何，作为证明可表示的主要工具，但将此留给了证明Hilbert和Picard方案存在性的投影方法。随后，Artin推广了Grothendieck的存在性结果，并证明了Hilbert和Picard格式作为代数空间存在。作者声称，正确的设置是代数空间和堆栈（而不是方案）的设置。Artin给出了函子和堆栈代数性的精确标准。Conrad和De Jong使用Néron-Popescu去角化，通过H.弗莱纳[数学Z.178，449–473（1981；Zbl 0453.14002号)]使用Exal，第一作者[J.Reine Angew.Math.722，137-182（2017；兹比尔1362.14012)]使用相干函子。本文利用弗伦纳和第一作者的思想，给出了函子和堆栈代数性的一个新判据，对Artin判据进行了补充。为了更广泛地应用该准则，并简化Artin和Flenner的证明，引入了几个新概念。此外，这些新技术还避免了Artin证明堆栈代数性在正特征中不起作用的地方。给出了一个优秀方案的主要结果。那么，在\（operatorname{Sch}/S，\）上的群胚中建立的范畴\（X\）是一个代数堆栈，它是\（S\）上有限表示的局部，当且仅当它满足： (1)\（X\）是带有fppf拓扑的\（\operatorname{Sch}/S\）上的堆栈，(2)\（X\）保留限制，(3)\（X\）是弱有效的，(4)\（X）是（mathbf{Art}^{text{triv}}）-同质的，（5a）\（X\）具有有界自同构和变形，（5b）\（X\）具有可构造的自同构和变形，（5c）\（X\）具有Zarisk局部自同构和变形，（6b）\（X\）有可建造的障碍物，（6c）\（X）有Zarisk当地障碍物。此外，主要结果包含一些特殊情况，其中一些标准是多余的，或者可以用更简单的标准代替。本文的主要内容是给出上述九个概念（准则）的必要定义，并证明结果。作者指出，上面的同质性条件（4）是他们的条件与Artin条件之间最显著的区别，因为这个条件只涉及局部Artian方案，并且不存在变形和阻塞理论的真实局部化条件。当\（S\）是Jacobson时，例如，对于域上的有限类型，不需要与zariski局部化兼容，也不需要与自同构和变形的完备相容的条件。本文的结果与Artin的结果进行了详细的比较。到目前为止，作者在代数性证明中选择了以下步骤： （i）存在形式上的普遍变形，（ii）形式通用变形的代数化，（iii）形式语言的开放性，（iv）形式上的普遍性意味着形式上的平滑。请注意，这些步骤明确解释了变形理论和代数堆栈理论之间的联系。最后两个步骤是对阿廷、弗伦纳、斯塔尔和霍尔的处理与现在不同。这就产生了标准本身和技术，并且这种处理填补了论文的主体。第（iv）步，形式上的重叠意味着形式上的平滑：这个标准比Artin的两个标准弱，除了在正特征中，（X）需要是fppf拓扑中的堆栈，或者必须加强标准（4）。这类似于Artin的准则，其中函子被假设为fppf sheaf。这对于他证明形式上的普遍变形是形式上的étale，确定函子的步骤（iv）至关重要。该证明还依赖于普遍变形的存在，因此不适用于具有无限稳定器或非缩减稳定器的堆栈。使用不同的方法，作者将此结果扩展到fppf堆栈。Artin只假设群胚是一个étale堆栈。作者表示，当（s）不是（mathbb Z）上的有限类型或完美域时，他们不理解Artin对步骤（iv）的证明。这种特殊情况是通过本文中给出的技术解决的。第（iii）步，形式普遍性的开放性：在处理本说明时，仅当传递到有限类型的非闭合点时才需要局部化。只有当\（S\）不是Jacobson时，即DVR的\（S=\operatorname{Spec}D\），这些点才存在。证明的有效性归结为一个简单的代数问题，这是半精确函子消失轨迹开放性的标准，该标准是从Ogus-Bergman Nakayama引理得出的。从步骤（ii）和（iv）可以证明，域上的条件（1）–（4）和（5a）给出了任意积分态射的同质性，因此（operatorname{自动}_{X/S}（T，-），\；\操作员姓名｛定义｝_{X/S}（T，-）和\（\运算符名称{对象}_{X/S}（T，-）是加法函子。本文中的标准的显著优点是显著削弱了同质性。本文的思想导致了一个半精确函子相干的判据，而这并不遵循任何代数性判据。作者回顾了同质性、限制保存和扩展的概念。它们引入了只涉及artian环的同质性，并表明剩余场扩展对于fppf拓扑中的堆栈是不变的。它们关系到形式的泛化、形式的平滑和Exal的消失，Exal也被定义了。然后考虑加性函数及其消失轨迹。这适用于Exal，它确保了形式动词的位置是开放的。在\（operatorname{Def}\）、\（operatorname{Aut}\）和\（oporatorname{Obs}\）上给出条件，这些条件暗示Exal上的相应条件。应用一般理论介绍了阶跃障碍理论。这些公式不使用Artin的线性障碍理论，并应用于有效性研究。这是一篇影响深远的文章，将代数堆栈和阻塞理论之间的对应关系和差异联系起来，并给出了一个普遍的理解。由于很少有作者是这两个领域的专家，因此本文是一个有价值的贡献，有很多非常重要的应用和比较。审核人：Arvid Siqveland（孔斯堡） 引用于1文件 MSC公司： 14日第15天 代数几何中的形式化方法和变形 14日第23天 堆栈和模问题 14A20型 泛化（代数空间、堆栈） 关键词：模格式;模堆栈;商堆栈;可代表性;代数空间;烟囱;Exal公司;相干函子;代数性;皮卡德方案;希尔伯特方案;优秀的方案;有限表示的局部;古波德;群胚中的纤维;代数堆栈;保留限制;弱有效;fppf拓扑;变形;\（\mathbf｛Art｝^｛\text｛triv｝｝\）-同构;有界自同构与变形;可构造自同构与变形;Zarisk局部自同构与变形;可建造障碍物;Zarisk当地障碍物;形式动词;形式动词的开放性;故事堆栈;同质性;限额保全;考试;有效性 引文：Zbl 0453.14002号;Zbl 1362.14012号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Hall}和\textit{D.Rydh}，代数数论13，第4期，749--796（2019；Zbl 1427.14026） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] ; Angéniol，Familles de cycle algébriques-schéma de Chow。数学课堂讲稿，896（1981）·Zbl 0496.14004号 [2] 2007年10月10日/BF02684596·Zbl 0181.48802号 ·doi:10.1007/BF02684596 [3] ; 阿廷，《全球分析》（纪念K.Kodaira的论文），21（1969）·Zbl 0205.50402号 [4] 2007年10月10日/BF01390174·Zbl 0317.14001号 ·doi:10.1007/BF01390174 [5] ; Auslander，分类代数会议记录，189（1966） [6] 10.1016/S0021-8693（02）00144-8·Zbl 1087.14004号 ·doi:10.1016/S0021-8693（02）00144-8 [7] 2007年10月10日/BF02684273·doi:10.1007/BF02684273 [8] 2007年10月10日/BF02684747·Zbl 0136.15901号 ·doi:10.1007/BF2684747 [9] 2007年10月10日/BF02684343·Zbl 0144.19904号 ·doi:10.1007/BF02684343 [10] 2007年10月10日/BF02732123·doi:10.1007/BF02732123 [11] 10.24033/bsmf.2455·Zbl 1058.14003号 ·doi:10.24033/bsmf.2455 [12] 2007年10月10日/BF01174768·Zbl 0453.14002号 ·doi:10.1007/BF01174768 [13] 2007年10月10日/00209-014-1321-7·Zbl 1346.14005号 ·doi:10.1007/s00209-014-1321-7 [14] 10.1515/克里勒-2014-0057·Zbl 1362.14012号 ·doi:10.1515/crelle-2014-0057 [15] ; Laumon，Champs algébriques。Ergebnisse der Mathematik和ihrer Grenzgebiete。3.民俗。，39 (2000) ·Zbl 0945.14005号 [16] ; 拉扎德，C.R.学院。科学。巴黎，2586313（1964）·兹伯利0135.07604 [17] 10.2307/2038514 ·Zbl 0206.33201号 ·doi:10.2307/2038514 [18] 10.1007/00209-005-0875-9·Zbl 1096.14007号 ·doi:10.1007/s00209-005-0875-9 [19] 10.1017/S0027763000022698·Zbl 0592.14014号 ·doi:10.1017/S0027763000022698 [20] 10.2307/1994967 ·Zbl 0167.49503号 ·doi:10.2307/1994967 [21] ; Grothendieck，Groupes de monodromie en géométrie algébrique，I：Exposés I-II，VI-IX。数学讲义。，288 (1972) ·Zbl 0237.00013号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。