×
陈志杰;林长寿

竞争Chern-Simons模型的一种新型非拓扑冒泡解决方案。 （英语） Zbl 1417.81149号

Ann.Sc.规范。超级。比萨，Cl.Sci。(5) 19，第1期，65-108（2019）.
构造了（mathbb{R}^2）中非阿贝尔Chern-Simons系统的径向非拓扑鼓泡解序列。
本文处理的系统（\mathbb｛R｝^2）是\开始{align*}&\增量u_1+（1+a_1）（e^{u_1}-（1+a_1）e^{2u_1}+a_1e^{u_1+u_2}）-a_1（e^{u_2}-（1+a_2）e^{2u_2}+a_2e^{u_1+u_2}）=4\pi N_1\delta_0，\tag{1}\\&\delta u_2+（1+a_2）（e^｛u2｝-（1+a_2）e^{2u_2}+a_2e^{u_1+u_2}）-a_2\结束{align*}这是奇异摄动Liouville系统的简化形式；\[ \开始{pmatrix}\Delta U_1\\Delta U_2\end{pmatricx}+K\begin{pmatriax}e^{U_1}\\e^{U_2}\end{pmatrix}-K\开始{pmatrix}e^{u_1}&0\\0&e^{up_2}\end{pmatricx}K\begin{pmatriax}e_^{u_1}\\e^{u_2}\end{pmattrix}=\begin{pmatriex}4\pi N_1\delta_0\\4\πN_2\delta0\end{pmartrix}。\] 这里，（K=（a{ij}）是一个具有正行列式和对角元素以及负非对角元素的矩阵（称为竞争矩阵）\（a1，a2）由（§1）导出。在本文中，在对（a_1.a_2）的一些假设下，系统（{（1），（2）}）被证明接纳了一系列径向非极性鼓泡解（（u_1，n}，u_2,n}），使得（sup_{mathbb{R}^2}u_2,n}-to-infty）为（n_to-infty\）。此外，\（lim_n u_{1.n}=u\）、\（u（x）=-2\gamma\log|x|+O（1）\）和\[Delta u+（1+a_1）e^u+（l+a_1）^2e^{2U}=4\pi n_1\Delta_0，\]和\（u_{k，n}（r）=-2\ alpha_{k、n}\log r+O（l），\ to \ infty \），\（k=1,2\）和\（\alpha__{k。还显示了n}to alpha_k）（这些结果的精确陈述如定理1.1所示，以及（gamma）的精确定义和\（\alpha_k，k=1.2\）。
定理1.1是用打靶法证明的。为此，首先引入一个集合（Sigma\subset\mathbb{R}^2），其元素（（alpha_1，alpha_2）对（（a_1，a_2），（N_1，N_2））进行约束（引理2.1，2.2）。使用打靶法，求解径向变量系统（（1）、（2）的下列初值问题；\[ \开始{cases}u''1（r）+\frac{1}{r} u_1'（r）=（1+a_1）F_1（r）-a_1F_2（r），\r>0，\\u_2''（r）+\frac{1}{r} 二氧化铀'（r）=（1+a_2）F_2（r）-a_2F_1（r），\r>0。\结束{cases}\标记{3}\] 具有初始条件\[ \开始{cases}u_1（r）=2N_1\log r+V（0）+o（1）\r\n到0，\\u_2（r）=2N_2\log r+\log\epsilon+o（一），\r\n到0。\结束{cases}\标记{4}\] 已考虑。这里\（F_k（r）=（1+a_k）e^{2u_k（r）}-e^{u_k[r）}-a_ke^{u_1（r）+u_2（r）}\），\（k=1,2\）。，和（0<epsilon<1）。
然后，它显示了在Sigma中固定\（\alpha_1，\alpha_2），存在\（\epsilon_0>0\），这样对于任何\（\ epsilon<\epsilen_0\），系统（（3），（4））都有一个完整的解\（（u{1，\ epsilen}，u{2，\ epsilon}）\），并且存在两个交点\}\）和\（u{2，\epsilon}\）使得
1
\（C^2_{mathrm{loc}}（F（0，R_{1，epsilon}））和（mathrm）中的{支持}_{\mathbb{R}^2}u_{2，\epsilon}\to-\infty\）作为\（\epsilen\to-0\）。
2
它包含\（int_{R{1，\epsilon}}^{R{3，\epsilon}}re^{u{1，\ epsilon}dr\ to 0），\（int_0^{R}1.\epsilon}}res^{u}2，\epsion}}dr\ to 0\），\\【\开始{对齐}和\int_{R_{1，\epsilon}}^{R_}3，\epsilon}}re^{u_{2，\epsi lon}}dr\to\frac{2}{1+a_2}\bigl（\frac}2a_2}{1＋a_1}（\gamma+\tilde{N} _1个)+2\波浪线{N} _2\大），\\epsilon\到0，\\&\int_{R_{3，\epsilon}}^输入re^{u_{1，\epsilon}}dr\到frac{4}{1+a_1}（\alpha_1-1），\quad\epsilon到0。\结束{对齐}\]
三。
Omega中存在（（alpha_1，alpha_2）\subset\Sigma）（参见（1.25），引理2.2），因此\[u_{k，\epsilon}（r）=-2\alpha_{k、\epsilen}\log r+O（1），\r\to\infty，\k=1,2\]和\（（\alpha_{1.\epsilon}，\alpha_2.\epsilen}）\到（\alfa_1，\alpha_2）\）作为\（\epsilon\到0）。
（定理2.3）。定理1.1作为一个直接推论从这个定理派生而来。
作者说，当（a_1，a_2）=（1,1）（The（operatorname{SU}（3））cae），假设（1<alpha_1<N_2+2），定理1.1在[K.Choe先生等，J.Funct。分析。270，第1期，第1-33页（2016年；Zbl 1331.35289号)]. 作者表示定理2.3的证明策略与本文类似。关键是要证明，如果（epsilon>0）足够小，则（u{1，epsilon}，u{2，epsilen}）全局存在。这是通过对在这个过程中出现的（（u{1，\epsilon}.u{2，\epsilon}）的渐近行为进行精细分析来实现的。主要工具是Pohozaev标识（2.23）。[H.Y.Huang（黄）和C.-S.林，J.Funct。分析。266，第12期，6796–6841（2014年；Zbl 1308.81132号)，引理7.2]）以及爆破分析。作者还表示，\（\alpha_1=1\）是一个关键案例，在以前的工作中没有进行研究。事实上，定理2.3的某些部分的证明，例如，根据（alpha=1）（§2.1）和（alpha>1）（§2.2）的不同，（sup_{mathbb{R}^2}u{2，epsilon}to-infty，epsilen to 0）是不同的。最后一节）。
审核人：浅田明（宝冢）

引用于4文件

MSC公司：

81T13型 量子场论中的Yang-Mills和其他规范理论
35立方英尺47英寸 二阶椭圆系统
40年第35季度 量子力学中的偏微分方程
58J28型 Eta不变量、Chern-Simons不变量

关键词：

非阿贝尔Chern-Simons系统;非拓扑起泡溶液;射击方法

引文：

Zbl 1331.35289号;Zbl 1308.81132号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Z.Chen}和\textit{C.-S.Lin}，Ann.Sc.Norm。超级。比萨，Cl.Sci。（5） 19，第1号，65--108（2019；Zbl 1417.81149）
全文： 内政部 arXiv公司