A.D.吉尔伯特。;格雷厄姆，I.G。;郭富英。;谢赫勒，R。;I.H.斯隆。 随机系数椭圆特征值问题的拟蒙特卡罗方法分析。 （英语） Zbl 1416.65018号 数字。数学。 142，第4号，863-915（2019）. 摘要：基于结构力学、光子晶体和中子扩散问题，我们考虑了具有随机系数的二阶强制偏微分算子广义Dirichlet特征值问题的不确定性量化正向问题。假设PDE系数是一致有界随机场，表示为由均匀分布的i.i.d.随机变量参数化的无限级数。通过（a）截断定义系数的无穷级数，计算出该问题的基本特征值的期望值；（b） 使用最低阶协调有限元和稀疏矩阵特征值求解器逼近截断问题；和（c）使用随机移位的准蒙特卡罗晶格规则，用特殊选择的生成向量，逼近所得的有限（但高维）积分。我们证明了组合误差的误差估计，它取决于截断维数、有限元网格直径和拟蒙特卡罗样本数。在适当的正则性假设下，我们的边界是特殊形式的（{mathcal{O}}（h^2+N^{-1+delta}），其中\（delta>0\）是任意的，隐藏常数与截断维数无关，截断维数需要增长为\（h\rightarrow0\）和\（N\rightarrow\infty）。对于类似的PDE源问题，我们的误差界保持的条件取决于一个参数（p\in（0，1）），该参数表示系数级数展开式中项的可和性。虽然特征值问题是非线性的，这意味着它通常被认为比源问题更难，但在几乎所有情况下（p\ne 1），我们都获得了以与源问题相应速度相同的速度收敛的误差界。证明包括对基本特征值作为随机参数函数的正则性的详细研究。作为分析中的一个关键中间结果，我们证明了谱间隙（基本特征值和第二特征值之间）在随机问题的所有实现中一致为正。 引用于1审查引用于14文件 MSC公司： 65二氧化碳 蒙特卡罗方法 65N25型 含偏微分方程边值问题特征值问题的数值方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 第35页 偏微分方程背景下特征值的估计 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.D.Gilbert}等人，数字。数学。142，编号4，863--915（2019；Zbl 1416.65018） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 安德列夫，R。；施瓦布，Ch；Graham，IG（编辑）；等。，参数特征值问题的稀疏张量近似，203-241（2012），柏林·Zbl 1248.65116号 ·doi:10.1007/978-3-642-22061-67 [2] Andrews，B.，Clutterbuck，J.：基本间隙猜想的证明。美国数学杂志。Soc.24899-916（2011）·Zbl 1222.35130号 ·doi:10.1090/S0894-0347-2011-00699-1 [3] Avramova，M.N.，Ivanov，K.N.：核反应堆设计和安全分析的多物理建模中的验证、验证和不确定性量化。掠夺。编号。能源52（7），601-614（2010）·doi:10.1016/j.pnucene.2010.03.009 [4] Ayres，D.A.F.，Eaton，M.D.，Hagues，A.W.，Williams，M.M.R.：中子输运的不确定性量化，广义多项式混沌，使用特征法。附录编号。《能源》45，14-28（2012）·doi:10.1016/j.anucene.2012.02.008 [5] Babuška，I.，Osborn，J.：用Galerkin方法估计特征值和特征向量近似的误差，特别注意多特征值的情况。SIAM J.数字。分析。24, 1249-1276 (1987) ·Zbl 0701.65042号 ·doi:10.1137/0724082 [6] Babuška，I.，Osborn，J.：自伴问题特征值和特征向量的有限元Galerkin近似。数学。计算。52, 275-297 (1989) ·兹比尔0675.65108 ·doi:10.1090/S0025-5718-1989-096220-8 [7] 巴布什卡，I。；奥斯本，J。；Ciarlet，PG（编辑）；Lions，JL（编辑），特征值问题，641-787（1991），阿姆斯特丹·Zbl 0875.65087号 [8] Boffi，D.：特征值问题的有限元近似。Acta Numer公司。19, 1-120 (2010) ·兹比尔1242.65110 ·doi:10.1017/S0962492910000012 [9] Brezis，H.：功能分析。Sobolev空间和偏微分方程。Universitext公司。施普林格，纽约（2011）·Zbl 1220.46002号 [10] Charrier，J.：随机系数椭圆偏微分方程的强误差估计和弱误差估计。SIAM J.数字。分析。50, 216-246 (2012) ·Zbl 1241.65011号 ·数字对象标识代码：10.1137/100800531 [11] Dick，J.，Kuo，F.Y.，Sloan，I.H.：高维积分：准蒙特卡罗方法。Acta Numer公司。22, 133-288 (2013) ·Zbl 1296.65004号 ·doi:10.1017/S0962492913000044 [12] Dick，J.，Kuo，F.Y.，Le Gia，Q.T.，Nuyens，D.，Schwab，Ch.：具有随机场输入的仿射参数算子方程的高阶QMC Petrov-Galerkin离散化。SIAM J.数字。分析。52, 2676-2702 (2014) ·Zbl 1326.65013号 ·数字对象标识代码：10.1137/130943984 [13] Dobson，D.C.：二维光子晶体中能带结构计算的有效方法。J.计算。物理学。149(2), 363-376 (1999) ·Zbl 0924.65133号 ·doi:10.1006/jcph.1998.6157 [14] Duderstadt，J.J.，Hamilton，L.J.：核反应堆分析。威利，纽约（1976年） [15] Ehrlacher，V.：量子化学中的一些数学模型和不确定性量化。巴黎大学CERMICS博士论文（2012年） [16] Fumagalli，I.，Manzoni，A.，Parolini，N.，Verani，M.：参数化椭圆特征值问题的简化基近似和后验误差估计。ESAIM:M2AN 501857-1885（2016）·Zbl 1355.65149号 ·doi:10.1051/m2年/201609年 [17] 甘特纳，R。；Owen，AB（编辑）；Glynn，PW（编辑），仿射参数算子方程QMC中的维数截断，249-264（2018），柏林·Zbl 1407.65011号 ·doi:10.1007/978-3-319-91436-7_13 [18] Ghosh，D.，Ghanem，R.G.，Red-Horse，J.：随机系统的特征值和模态相互作用分析。AIAA J.43（10），2196-2201（2005）·数字对象标识码：10.2514/1.8786 [19] Giani，S.，Graham，I.G.：计算光子晶体带隙的自适应有限元方法。数字。数学。121(1), 31-64 (2012) ·兹比尔1241.82077 ·doi:10.1007/s00211-011-0425-9 [20] Henrot，A.：椭圆算子特征值的极值问题。Birkhäuser Verlag，巴塞尔（2006年）·Zbl 1109.35081号 ·doi:10.1007/3-7643-7706-2 [21] Hörmander，L.：线性偏微分算子的分析I.Springer，Berlin（2003）·兹比尔1028.35001 ·doi:10.1007/978-3-642-61497-2 [22] Horger，T.，Wohlmuth，B.，Dickopf，T.：参数化椭圆特征值问题的同时约化基近似。ESAIM:M2AN 51、443-465（2017）·Zbl 1362.65121号 ·doi:10.1051/m2安/2016025 [23] Jamelota，E.，Ciarlet Jr.，P.：求解中子扩散方程的快速非重叠Schwarz区域分解方法。J.计算。物理学。241, 445-463 (2013) ·Zbl 1349.65428号 ·doi:10.1016/j.jcp.2013.01.026 [24] 加藤，T.：线性算子的扰动理论。柏林施普林格（1984）·Zbl 0531.47014号 [25] Kuchment，P.：光子晶体的数学。SIAM前部。申请。数学。22, 207-272 (2001) ·兹比尔0986.78004 [26] Kuo，F.Y.，Schwab，Ch.，Sloan，I.H.：一类随机系数椭圆偏微分方程的拟蒙特卡罗有限元方法。SIAM J.数字。分析。50(6), 3351-3374 (2012) ·Zbl 1271.65017号 ·数字对象标识代码：10.1137/10845537 [27] Machels，L.，Maday，Y.，Oliveira，I。B.、Patera、A。T.、Rovas、D。对称正定特征值问题的约化基近似的输出界。C.R.学院。科学。巴黎，Sér。I 331153-158（2000）·Zbl 0960.65063号 ·doi:10.1016/S0764-4442（00）00270-6 [28] Norton，R.，Scheichl，R.：光子晶体光纤的平面波展开方法。申请。数字。数学。63, 88-104 (2012) ·兹比尔1269.82009 ·doi:10.1016/j.apnum.2012.09.08 [29] Nuyens，D.，Cools，R.：移位不变再生核Hilbert空间中秩-1格规则逐分量构造的快速算法。数学。计算。75(254), 903-920 (2006) ·Zbl 1094.65004号 ·doi:10.1090/S025-5718-06-1785-6 [30] Nuyens，D.，Cools，R.：具有非素数点的秩-1格规则的快速逐分量构造。J.复杂。22, 4-28 (2006) ·Zbl 1092.65002号 ·doi:10.1016/j.jco.2005.07.002 [31] Pau，G.S.H.：能带结构计算的简化基方法。物理学。版本E 79，046704（2007）·doi:10.1103/PhysRevE.76.046704 [32] Pettit，C.L.：气动弹性的不确定性量化：最新结果和研究挑战。J.艾尔克。41(5), 1217-1229 (2004) ·数字对象标识代码：10.2514/1.3961 [33] Scheichl，R.：用多网格和预处理Krylov子空间方法并行求解瞬态多群中子扩散方程（硕士论文）。林茨开普勒大学Schriften der Johannes Kepler Universityät Linz，第C21卷，林茨Trauner-Verlag（1997） [34] Sloan，I.H.，Kuo，F.Y.，Joe，S.：在加权Sobolev空间中构造随机移位格规则。SIAM J.数字。分析。40(5), 1650-1665 (2002) ·Zbl 1037.65005号 ·doi:10.1137/S0036142901393942 [35] Sloan，I.H.，Woźniakowski，H.：什么时候准蒙特卡罗算法对高维积分有效？J.复杂。14(1), 1-33 (1998) ·Zbl 1032.65011号 ·doi:10.1006/jcom.1997.0463 [36] Strang，G.，Fix，G.：有限元方法分析。马萨诸塞州韦尔斯利市韦尔斯利坎布里奇出版社（1973）·Zbl 0356.65096号 [37] Van den Branden，G.：核反应堆理论。练习：第1部分（W.D’haeseler教授）。比利时核高等教育网络（BNEN）课程（W.Dhaeseler教授），鲁汶大学，2015年。可在获取https://people.mech.kuleuven.be网站/威廉/BNEN/NRT [38] Wachspress，E.L.：椭圆系统的迭代解及其在反应堆物理中子扩散方程中的应用。Prentice-Hall Inc，新泽西州恩格尔伍德克利夫斯（1966）·Zbl 0161.12203号 [39] Williams，M.M.R.：解决随机特征值问题的方法。申请。数学。计算。215(11), 4729-4744 (2010) ·Zbl 06447279号 [40] Williams，M.M.R.：一种求解随机特征值问题的方法II。申请。数学。计算。219(9), 4729-4744 (2013) ·Zbl 06447279号 [41] Zhang，Z.，Chen，W.，Cheng，X.：连续统中本征模局部化的灵敏度分析和优化。结构。多磁盘。最佳方案。52(2), 305-317 (2015) ·doi:10.1007/s00158-015-1235-y 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。