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丹尼斯·盖茨戈里

几何Langlands猜想的证明概述（mathrm{GL}（2））。 （英语。法语摘要） Zbl 1406.14008号

Bost，Jean-Benoêt（编辑）等，《自变形的研究》（II）。联合国收录了《法国巴黎圣母院》杂志的文章。巴黎：法国数学学会（SMF）（ISBN 978-2-85629-806-0/pbk）。Astérisque 370，1-112（2015）。
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设（X）是特征为（0）的代数闭域上的不可约光滑射影曲线，设（G）是（k）上的约化群，设（check{G}）是其Langlands对偶，视为（k）之上的代数群。让\（\mathrm{面包}_{G} \）是\（X\）上\（G\）-束的代数堆栈，let \（\mathrm{本地系统}_{\检查{G}}\）是派生的（X\）上的\（\check{G}\）-局部系统的代数堆栈。作者概述了（G=mathrm）的“范畴”几何Langlands猜想的证明{总账}_{2} \）：存在DG类别的等效性\[\马特布{左}_{G} ：\数学{印度可可}_{\mathrm（马特姆）{空}_{\检查{G}}^{\mathrm{glob}}}（\mathrm{本地系统}_{\检查{G}}）\to\mathrm{D-Mod}（\mathrm{面包}_{G} ），\]与几何Satake等价和Eisenstein构造兼容。
这个想法最好用图表来说明：\[\开始{tikzcd}\mathrm{Glue}（\check{G}）_{\mathrm{spec}}\ar[r，“{\mathbb{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}^{\tathrm{ext}}}“]&\mathrm{Whit{^{mathrm}}（G，G）\\\马特姆{印度可可}_{\mathrm（马特姆）{空}_{\检查{G}}^{\mathrm{glob}}}（\mathrm{本地系统}_{\检查{G}}）\ar[r，“{\mathbb{左}_{G} }“]\ar[u，”{\mathrm{Glue}（\mathrm{连续油管}_{\mathrm{spec}}^{\mathr{enh}}）}“]&\mathrm{D-Mod}（\mathr{面包}_{G} ）\ar[u，“{\mathrm｛科夫｝_{G，G}^{\mathrm{ext}}}A“']\\\mathrm{QCoh}（\mathrm{Op}（\theck{G}）_{\lambda^{I}}^{\mathrm{glob}}）\ar[u，“{（v_{\lambda^I}）{*}}”]\ar[r，equal]&\mathrm2“”{q\mathrm“{-挂接装置}_｛\lambda ^｛I｝｝｝｝“”]\。\结束{tikzcd}\]
在光谱方面，DG类别{印度可可}_{\mathrm（马特姆）{空}_{\检查{G}}^{\mathrm{glob}}}（\mathrm{本地系统}_{\check{G}}）是\（\mathrm{QCoh}（\mathr）的放大｛LocSys｝_{\check{G}}），目的是获得与艾森斯坦级数结构的兼容性。DG类别\（\mathrm{Glue}（\check{G}）_{\mathrm{spec}}\）是\（\mathrm{F}（F）_{\check{P}}\mathrm{-mod}（\mathrm{QCoh}（\fathrm{本地系统}_{\检查{P}}）\），其中\（\mathrm{F}（F）_{\check{P}}\）是由\（\mathrm）上的向量场诱导的单子{本地系统}_{检查{P}}{本地系统}_{\检查{P}}\to\mathrm{本地系统}_{\检查{G}}\）。函子\[\mathrm{Glue}（\mathrm{连续油管}_{\mathrm{spec}}^{\mathrm{enh}}）：\mathrm{印度可可}_{\mathrm（马特姆）{空}_{\检查{G}}^{\mathrm{glob}}}（\mathrm{本地系统}_{检查{G}}）\to\mathrm{Glue}（\check{G}）_{\mathrm{spec}}\]是自同构形式的常项函子的类似物的粘合。在与D.Arinkin的联合工作中，他们证明了函子对所有约化群（G）都是完全忠实的。
在几何方面，DG范畴是“退化”Whittaker范畴的粘合。函子\[\马特姆｛科夫｝_{G，G}^{\mathrm{ext}}:\mathrm-{D-Mod}（\mathrm{面包}_{G} ）\到\mathrm{Whit}^{\mathrm{ext}}（G，G）\]是自守形式的Fourier-Whittaker展开式的一个改进。它被猜想是完全忠实的（群的定理{总账}_{n} \））。
函子\（\mathbb{左}_{G，G}^{mathrm{Whit}^{mathrm{ext}}}）是函子的粘合\[\马特布{左}_｛G，P｝^｛\mathrm｛Whit｝｝：\mathrm{F}（F）_{\check{P}}\mathrm{-mod}（\mathrm{QCoh}（\fathrm{本地系统}_{\检查{P}}）到\mathrm{Whit}（G，P）。\]函子的定义\（\mathbb{左}_{G，P}^{\mathrm{Whit}}\）可以简化为\（\mathbb{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}}），后者通过扩展来定义。更准确地说，存在一个完全忠实的函子\[\mathrm{QCoh}（\mathrm{本地系统}_{检查{G}}）到\mathrm{Rep}（\check{G}）_{\mathrm{Ran}（X）}，\]范畴\（\mathrm{Whit}（G，G）\）在规范上等价于\（\mathrm{Rep}（\check{G}）_{\mathrm{Ran}（X）}\）的变体（基本上这是Casselman-Shalika公式）和\（\methbb{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}}）是两个函子的组合。通过构造，函子与单体范畴的作用相容，即几何Satake等价。最后，函子（mathbb）被称为“拟定理”{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}^{\tathrm{ext}}}）是完全忠实的。
现在函子\（\mathrm{Glue}（\mathr{连续油管}_{\mathrm{spec}}^{\mathr{enh}}）\），\（\mathbb{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}^{\tathrm{ext}}），\（\mathrm{系数}_{G，G}^{\mathrm{ext}}）是完全忠实的，这足以比较\[\马特布{左}_{G，G}^{\mathrm{Whit}^{\tathrm{ext}}}\circ\mathrm{Glue}（\tathrm｛CT｝_{\mathrm{spec}}^{\mathr{enh}}）\quad\text{和}\mathrm{系数}_{G，G}^{\mathrm{ext}}\]以便建立分类Langlands对应关系。通过归纳，它可以归结为比较光谱侧不可约局部系统和几何侧尖点形式的图像。这是通过推广Beilinson Drinfeld对Hecke特征带的构造来实现的{面包}_{G} 与特殊的\（\check{G}\）关联的\（X\）上的本地系统调用操作人员这是工作的核心，也是上面交换图中的最后一块。
关于整个系列，请参见[Zbl 1319.14004号].
审核人：陈宗斌（北京）

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理学硕士：

14日24时 Geometric Langlands程序（代数几何方面）
14层05 滑轮、滑轮衍生类别等（MSC2010）
14小时60分 曲线上的向量丛及其模

关键词：

几何朗兰对应
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\textit{D.Gaitsgory}，阿斯特里斯克370，1--112（2015；Zbl 1406.14008）
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