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西蒙·菲利普·格里查

交换复数理论的谱。 （英语） Zbl 1395.55008号

阿尔盖布。地理。白杨。 第2号第18页，1205-1249页（2018）.
设（G）是一个单位元为非退化基点的拓扑群。分类空间（BG）的一个单纯形模型是（N_*G）的几何实现，即（G）的神经（视为具有一个对象的范畴）。如果只考虑那些是（G）两两交换元素的有序元组的单纯形，则得到（BG和一个自然包含映射（i:B_{\text{com}}G\rightarrow-BG\）。在某些情况下，（B_{text{com}}G）带有一个环空间结构，因此表示一个广义上同调理论，称为交换\（K\）理论，请参阅[A.阿德姆等，Algebr。地理。白杨。17，第2期，869–893（2017年；Zbl 1360.55003号)]. 本工作处理的是案例（G=U）（以及相关案例（G=SU）），其相关理论是交换复形理论，特别确定了（B_{text{com}}U\）的同伦类型，它的有理Hopf环，以及它与以前的工作的关系A.阿德姆和J.戈麦斯[Algebr.Geom.Topol.15，No.1，493–535（2015；Zbl 1397.55010号)]关于\（B_{text{com}}U\）的有理上同调。
第2节确定了交换复（K）理论的谱。这里的主要结果是定理2.11，它表明存在一个交换的（ku）-代数谱（E），使得（Omega^ infty E\simeq{mathbb Z}times B_{text{com}U/\mkern-6mu/U）和（ku代数）的等价性（E\sime ku楔形BU（1）_+），其中（ku}U/\mkern-6mu/U）是通过每个单纯形上的共轭作用于（B_{text{com}}U\）的同伦轨道空间。这些结果是通过自由阿贝尔群的Carlsson和Lawson变形（K）理论（第2.1节）和Lawsson的相关Bott共纤维序列（来自推论2.10）获得的。推论2.13给出了\（B_{text{com}}U\）的同伦群。
第三节讨论了（B_{text{com}}U）和（B_}text{com{SU）的同伦类型的确定。这出现在定理3.4中，说明了\（B_{text{com}}U\simeq BU\ times E_{text{com}}U \）和\（B_{text{com}SU\simeq-BSU\ times E2{text{com/}U）作为\（E_infty）-\（{mathbb Z}\ times BU\）-模块。此外，包体（B_{text{com}}G\rightarrow BG）的同伦纤维（E_{text{com}U）同伦等价于（prod_{n \geq 2}BU\langle 2n \rangle）（这里，（BU\langle2n \rangle）表示（BU）的（2n-1）连通覆盖层。）这个结果是利用（ku楔形BU（1）_+）分裂为（ku）的悬浮楔来实现的，这是引理3.3证明的主要成分。
第4节计算了（{mathbb Z}\times B_{text{com}}U/\mkern-6mu/U）的有理同调的Hopf环结构：定理4.4说明它是由一个度为（0）的类、（[1]\otimes1\）的类和度为（2）的两个类、（[0]\otimes\zeta{1,0}）和（[0]\times\zeta{0,1}）生成的，其中对偶于Adem和Gómez[loc.cit.]先前确定的（b_{text{com}}U）有理上同调代数的多项式生成器（z_{a，b}）。推论4.6使用Hopf环描述将同伦和（B_{text{com}}U）的有理同调联系起来，得到了一个以第一类Sterling数为特征并与Adem和Gómez的有理上同调计算相联系的公式。推论4.7描述了有理上同调定理3.4的分裂，得到了一个公式，该公式根据第二类斯特林数给出了Chern分量的（n^{th}）分量。
第5节讨论了\（B_｛\text｛com｝｝｝U\）和\（B_｛\text｛com｝｝SU（2）\）之间的一些关系。这里的主要结果是命题5.2，声明它们的同伦群是同构的。
审核人：Rui Miguel Saramago（萨尔沃港）

引用于6文件

MSC公司：

55奈拉 拓扑\（K\）理论
55兰特 代数拓扑中群空间和（H\）-空间的分类
55兰特 代数拓扑中分类空间和特征类的同调
55兰特 代数拓扑中向量空间丛的稳定类及其与K理论的关系

关键词：

\（K\）理论;分类空间

引文：

Zbl 1360.55003号;Zbl 1397.55010号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.P.Gritschacher}，Algebr。地理。白杨。18，编号21205-1249（2018；兹bl 1395.55008）
全文： 内政部 arXiv公司

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