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英格丽德·鲍尔;迈克尔·斯托尔

初级Burniat曲面的几何图形和算术。 （英语） Zbl 1390.14116号

数学。纳克里斯。 290，编号14-15，2132-2153（2017）.
Burniat表面是一种特定类型的6度del Pezzo表面的双层覆盖物，如果它是光滑的，则称为主要表面。它们是由P.伯尼亚特【Ann.Mat.Pura Appl.（4）71，1-24（1966年；Zbl 0144.2003号)]. 文中给出了一个完全不同的构造，作为三条椭圆曲线的乘积（E_1\乘以E_2\乘以E_3\）中某超曲面的商[井上先生，东京J.数学。17，第2期，295–319（1994年；Zbl 0836.14020号)]直到2011年，第一作者和F.卡塔尼亚语【in：代数品种分类。基于品种分类会议，荷兰Schiermonnikoog，2009年5月。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。49–76 (2011;兹伯利1264.14052)]表明井上的构造和伯尼亚特的构造提供了完全相同的表面。
本文从两个方面利用了这种巧合：作者描述了模空间，并且对于定义在（{mathbbQ}）上的Burniat曲面（S），他们给出了有理点集（S（{matHBbQ}）的详细描述。
Burniat曲面的模量空间在M.门德斯·洛佩斯和R.帕迪尼[拓扑40，第5期，977–991（2001；Zbl 1072.14522号)]但只使用了Burniat的方法。借助于Inoue替代方案的额外帮助，作者完全显式地展示了模空间，给出了模空间在（{mathbbA}^6）中的方程，并根据（s）的自同构群将其分层。特别是，他们表明，这是维度4的一个不可约的有理变化：这一点，以及第一作者和卡塔内塞（Catanese）早些时候以不太详细的形式获得的一些其他结果[loc.cit]。
由于Burniat曲面是一般类型的，所以它应该满足Lang的猜想：特别是，如果（s\）定义在\（{\mathbbQ}\）上，那么\（s（{\MathbbQ{）\）应该包含在适当的子簇中。因此，（S（{mathbbQ}）的Zarisk闭包至多由亏格0或1的一些曲线和有限多个其他点组成。本文的第二部分展示了如何在稍微特殊的情况下计算这些位点，在这种情况下，所有东西（E_i），而不仅仅是S）都定义在（{mathbbQ}上。对于亏格0或亏格1的曲线，我们考虑它们在\（X\）中的覆盖，它们映射到每个\（E_i\），因此是与\（E_i \）中至少一个同根的椭圆曲线。有几种情况，取决于这些地图中有多少是非恒定的。对于其他点，需要在\（X）的Galois扭曲上找到有理点，这取决于\（E_i（{mathbbQ}）\）的性质，因此还有几种情况。
审核人：G.K.Sankaran（巴斯）

MSC公司：

14层29 一般类型的表面
14G05年 有理点
14国道25号 代数几何中的全局地面场
14日J10 族、模、分类：代数理论
14J50型 曲面的自同构与高维簇
14K12型 阿贝尔品种的亚变种

关键词：

普通型曲面;模空间;朗推测;有理点

引文：

Zbl 0144.2003号;Zbl 0836.14020号;Zbl 1264.14052号;兹比尔1072.14522
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\textit{I.Bauer}和\textit{M.Stoll}，数学。纳克里斯。290，编号14-15，2132-2153（2017；Zbl 1390.14116）
全文： 内政部 arXiv公司

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