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吉多·德菲利普斯;兰博利，吉米;米歇尔·皮埃尔;博日达尔·维利奇科夫

涉及周长的形状优化问题的最小化规则。 （英语。法语摘要） Zbl 1381.49044号

数学杂志。Pures应用程序。（9） 109, 147-181 (2018).
如果\（｛\mathcal A｝\）是\（\mathbb R^d\）中的一类域，并且\（J:｛\mathcal A｝\ to \mathbb R\）是给定的形状泛函，则形状优化问题是最小化\（\｛J（\ Omega）；\；\ Omega \ in｛\mathcal A｝\｝\）。形状优化最重要的例子是当（D）在体积约束下是光滑的时，最小化周长（J=P）的问题，定义为（P（D）={mathcal H}^{D-1}（\partial\Omega）。著名的等周不等式断言，球是这个问题的唯一极小值。在更一般的情况下，例如，对于约束等周问题（\min\{P（\Omega）；\；|\Omega|=m\；\Omega\subset D\}\），其中\（D\）是\（\mathbb R^D\）中的一个盒子太窄，无法容纳一个体积为\（m\）的球，正则性问题并不简单。证明了当（D）有界时，有限周长集类中存在一个最优形状（Omega^*），并且当（D leq 7）时，（偏Omega\cap D）是光滑的。如果存在（C\in\mathbb R\）、（a\in（d-1，d]\）和（R_0>0\），则最佳形状\（Omega^*\）被称为周长的准最小值，这样对于每一个带有\（R\leq R_0\）、\（P（Omega ^*）\leq P（\Omega）+Cr^\alpha\）的球\（B_R子集B_R \cap d\）●●●●。在[ESAIM Control Optim.Calc.Var.10，99–122（2004；Zbl 1118.35078号)],T.布赖恩松研究了具有体积约束的Dirichlet能量（E_f）的最优形状的正则性，其中（E_f（\Omega）=\min\limits_u\left\{\int\limits\\Omega\left（\frac12|\nabla u|^2-f u\right）dx\right\}），（\Omega\subset D\），（\ Omega\）是开放的，并且（|\Omegan|=a>0\）。作者证明了当（f\geq0）时，最优形状具有（C^{1，alpha}）正则性。《应用数学优化》69，第2期，199-231（2014；兹比尔1297.49077)],G.德菲利普斯和B.维利奇科夫考虑了形状优化问题（min\left\{lambda_k（\Omega）\right\}）解的存在性和正则性，其中（\Omega\subset\mathbb{R}^d\），（\Ogega\）是开放的，（P（\Ometa）=1\），和（|\Omega|<\infty\），其中（lambda-k\）表示Dirichlet-Laplacian的第（k）个特征值，即（k\）-第个最小的正实数，使得方程\（-\Delta u_k=\lambda_k（\Omega）u_k具有非平凡解，其中\（u_k \ in H^1_0（\Omega）\）。他们证明了每个解（Omega）都是一个有界连通开集，其边界是Hausdorff维数闭集（d-8）之外的（C^{1，alpha}）。对于满足bi-Lipschitz型条件的增函数（F：mathbb{R}^p到mathbb}R}），也证明了形式为（F（\Omega）=F（\lambda{k_1}（\Omega），\ldots，\lambda{k_p}（\ Omega，））的更一般谱泛函的类似结果。
本文证明了问题的最优形状的存在性和正则性；\Omega\子集D\；\楔形\|\欧米茄|=m\}\），其中\（P\）表示周长，\（|\cdot|\）表示体积，泛函\（mathcal{G}\）是关于函数\（L^P\中的f\）的狄里克莱能量\（E_f\），或形式为\（f（\lambda_1，\dots，\lambda_k）\）的谱泛函，其中\Dirichlet拉普拉斯算子的第h个特征值和\（F:\mathbb R^k\ to \mathbb R\）是局部Lipschitz连续的，并且在每个变量中都是递增的。他们证明了问题的解是域（D），它是整个空间（mathbb R^D）或有界域。此外，他们还证明了该问题的每个解（Omega^*）都是有界的，并且它是周长的拟最小值，分别具有指数（d-d/p）或（d）。
审核人：安德鲁·巴基（爱德蒙）

引用于6文件

MSC公司：

2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状
49N60型 最优控制中解的正则性
35P99页 偏微分方程的谱理论和特征值问题
35兰特 偏微分方程的自由边界问题

关键词：

形状优化;狄利克雷能量;谱泛函;规律性

引文：

Zbl 1118.35078号;Zbl 1297.49077号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{G.De Philippis}等人，J.Math。Pures应用程序。（9） 109、147--181（2018年；Zbl 1381.49044）
全文： 内政部 arXiv公司

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