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马修·肯尼迪;保罗·斯科夫拉尼斯

II（_1）因子的汤普森定理。 （英语） Zbl 1369.46054号

事务处理。美国数学。Soc公司。 369，第2期，1495-1511（2017）.
在[SIAM J.应用数学.32，39–63（1977；Zbl 0361.15009号)],R.C.汤普森能够用（x_1\geq\cdots\geqx_n\geq0）和（y_1|\geq\ cdots\ geq|y_n|\）来刻画这些向量对（x\in\mathbb R^n）和（y \in\mathbb C^n），从而存在具有奇异值\（x\）和对角线\（y\）的（A\ in M_n（mathbb C）\）。条件是\[\开始{对齐}&\sum_{j=1}^k|y_j|\leq\sum_{j=1}^kx_j，\quad k=1，\点，n，\\&\sum{j=1}^{n-1}|y_j |-|y_n|\leq \sum_j=1}^{n-1}xj-xn。\结束{对齐}\标记{1}\]这个特征是Schur-Horn定理的一个变体，它在（a）是自伴的情况下表征了这些对。不等式（1）相当于所谓的子joralization（用\（|y|\prec_w-x\）表示）。
具有对角线（y）和奇异值（x）的矩阵（a）的存在性等价于存在单位（U，V），使得（UYV）的对角线为（x），其中（y）是具有对角线上（y）的对角矩阵。
这些想法可以扩展的一个自然框架是II-因子。在这方面已经做了很多工作，我参考了这篇论文的参考文献列表，以获得关于这一主题的重要论文的子集。II（1）-因子之所以适用于这些思想，是因为它们在某种意义上是全矩阵代数的“正确”无限维泛化（特别是因为它们具有忠实的轨迹，以及特征值和奇异值的连续类似物，从而允许人们定义优化）。
因此，在这里，作者在II（1）-因子的设置下证明了一个汤普森定理。将“对角线”推广到II因子（mathcal M）是一个条件期望（即，正态投影）（e_{mathcal a}）到masa上。作者证明的结果是：
定理。对于具有条件期望（E_{mathcal a}）和（T\in\mathcal M\）、（a\in\mathcal a\）的II\（_1）因子（mathcal M）和masa\（mathcalA\子集\mathcalM\），下列语句是等价的：
（i）
\（A\prec_w T\）；
（ii）
\（E_{mathcal A}中的A\（上划线{{UTV:\；U，V\在mathcal U（\mathcal M）\}}中）。
在引言和序言之后，该证明包含了论文的大部分内容，包括将问题更严格地简化为更简单的案例，并以一种基本的方式加以使用M。维奇安德兰的II因子中的Schur-Horn定理[“von Neumann代数中的Schour-Horn公式”，Preprint（2012），arXiv:1209.0909]，这基本上是上述定理，其中\（A\）和\（T\）是自伴和\（V=U^*\）。
在最后一节中，作者证明了他们的结果暗示了拉维坎德兰的结果。
审核人：Martín Argerami（里贾纳）

引用于6文件

MSC公司：

46升10 von Neumann代数的一般理论
15A42型 包含特征值和特征向量的不等式

关键词：

Schur-Horn定理;汤普森定理;冯·诺依曼代数;新加坡金融管理局;奇异值;特征值;对角线的;条件期望

引文：

Zbl 0361.15009号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛M.Kennedy｝和\textit｛P.Skoufranis｝，Trans。美国数学。Soc.369，No.2，1495--1511（2017；Zbl 1369.46054）
全文： 内政部 arXiv公司

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