佩德罗·J·米亚纳。;Hideyuki大冢;纳塔利亚·罗梅罗 加泰罗尼亚三角形数的幂和。 (英语) 兹伯利1367.05013 离散数学。 340,第10号,2388-2397(2017). 摘要:在本文中,我们考虑组合数((C_{m,k}){m\geq1,k\geq0}),称为加泰罗尼亚三角数,其中。这些数字统一了加泰罗尼亚三角形(B_{n,k})和(A{n,k})的条目,用于参数(m)和(k)的适当值,即(B_}n,k{=C_{2n,n-k}和(A_{n、k}=C_2n+1,n+1-k}。事实上,这些数字是对已知选票数字的适当重排,其中一些数字是众所周知的加泰罗尼亚数字,即(C_{2n,n-1}=C_{2 n+1,n}=C_n)。我们给出了(C_{m,k})的和(和交替和)、(C_}m,k{)的正方形和立方体的恒等式,从而给出了(B_{n,k}\)和(A_{n、k}\。特别是,其中一个身份解决了[J.M.古铁雷斯等【《数学与分析杂志》,Appl.341,No.1,52-61(2008;Zbl 1147.05003号)]. 我们还给出了((C_{m,k}){m\geq1,k\geq0})与调和数((H_n){n\geq1})之间的一些恒等式。最后,在最后一节中,我们猜想了涉及(C_n){n\geq0}的新的开放问题和恒等式。 引用于2评论引用于8文件 MSC公司: 19年5月 组合恒等式,双射组合学 05年10月 因子、二项式系数、组合函数 关键词:加泰罗尼亚数字;组合恒等式;二项式系数;加泰罗尼亚三角 引文:兹比尔1147.05003 软件:组织环境信息系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.J.Miana}等人,《离散数学》。340,第10号,2388--2397(2017;Zbl 1367.05013) 全文: DOI程序 arXiv公司 整数序列在线百科全书: 德布鲁因的s(3,n):(3n)/(n!)^3。 按行读取三角形;第0行为0;n>0的第n行包含(1-x)*(1+x)^(n-1)展开式中的系数。 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的奇数列构成的三角形。有时被称为加泰罗尼亚三角。 根据切比雪夫多项式U_n(x),由x的幂展开三角形的偶数列构成的三角形。 三角形T(n,k)表示三角形A071919连续项对的差值。 a(n)=和{k=0..n}二项式(n+k,k)^2。 L.g.f.:求和{n>=1,k>=0}CATALAN(n,k)^2*x^(n+k)/n=Sum_{n>=1}a(n)*x^n/n,其中CATALAN。 参考文献: [1] Aigner,M.,类加泰罗尼亚数和行列式,J.Combin,理论系列。A、 87、33-51(1999)·Zbl 0929.05004号 [2] Aigner,M.,《通过选票数字进行枚举》,《离散数学》。,308, 12, 2544-2563 (2008) ·Zbl 1147.05002号 [3] A.T.本杰明。;Quinn,J.,(《真计数的证明》,《真计数证明》,Dolciani数学博览会,第27卷(2003年),美国数学协会)·Zbl 1044.11001号 [4] 陈,X。;Chu,W.,《加泰罗尼亚数字的矩》,J.Math。分析。申请。,349, 2, 311-316 (2009) ·Zbl 1168.11004号 [5] Chu,W.,涉及调和数的求和公式,Filomat,26,1,143-152(2012)·Zbl 1289.05019号 [6] 德国E。;夏皮罗,L.,《精细数字调查》,《离散数学》。,241, 241-265 (2001) ·Zbl 0992.05011号 [7] Eplett,W.J.R.,关于加泰罗尼亚三角形的注释,离散数学。,25, 289-291 (1979) ·兹伯利039305014 [8] Gosper,R.W.,《不定超几何求和的判定程序》,Proc。国家。阿卡德。科学。美国,75,40-42(1978)·Zbl 0384.40001号 [9] 郭文伟。;Zeng,J.,《加泰罗尼亚三角的二项式和因子》,《数论》,130,1,172-186(2010)·Zbl 1185.05006号 [10] 郭文伟。;Zeng,J.,涉及二项式系数和整数幂的和因子和交替和,国际数论,71959-1976(2011)·兹比尔1235.05009 [11] 古铁雷斯,J.M。;Hernández,医学硕士。;Miana,P.J。;罗梅罗,N.,《加泰罗尼亚三角洲的新身份》,J.Math。分析。申请。,341, 1, 52-61 (2008) ·Zbl 1147.05003号 [12] Miana,P.J。;罗梅罗,N.,组合数和加泰罗尼亚数的矩,《数论》,130,8,1876-1887(2010)·Zbl 1214.11033号 [13] 大冢,H。;Tauraso,R.,问题11844,Amer。数学。月度,122,5,501(2015),解决方案网址:http://www.mat.uniroma2.it/tauraso/AMM/AMM11844.pdf [14] Paule,P。;Schneider,C.,调和数恒等式新族的计算机证明,Adv.Appl。数学。,31, 2, 359-378 (2003) ·Zbl 1039.11007号 [15] Petkovsek,M。;Wilf,H.S。;Zeilberger,D.,(A=B(1997)),A K Peters Ltd.Wellesley [16] 夏皮罗,L.W.,《加泰罗尼亚三角》,离散数学。,14, 83-90 (1976) ·Zbl 0323.05004号 [17] Slavík,A.,二项式系数平方的恒等式,Ars Combin,113,377-383(2014)·Zbl 1313.05023号 [19] 斯隆,N.,《整数序列手册》(1973),学术出版社:新泽西学术出版社·Zbl 0286.10001号 [20] Spies,J.,《涉及调和数的一些恒等式》,数学。公司。,55, 839-863 (1990) ·Zbl 0724.05005号 [21] Stanley,R.P.,《枚举组合数学》,第2卷(1999),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社·Zbl 0928.05001号 [22] Stanley,R.P.,《加泰罗尼亚数字》(2015),剑桥大学出版社:剑桥大学出版社·Zbl 1317.05010号 [23] Wilf,H。;Zeilberger,D.,有理函数证明组合,J.Amer。数学。《社会学杂志》,3,1,147-158(1990)·Zbl 0695.05004号 [24] 张,Z。;Pang,B.,《加泰罗尼亚三角中的几个身份》,印度J.Pure Appl。数学。,第41页,第363-378页(2010年)·Zbl 1223.05009号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。