J.Brian，Conrey;亨利克·伊瓦涅克;坎南Soundararajan Dirichlet\（L\）-函数的临界零点。 （英语） Zbl 1357.11070号 J.Reine Angew。数学。 681, 175-198 (2013). 设\（\chi\）\（\pmod｛q｝\）为基元字符，\（L（s，\chi）\）为相关的狄利克雷级数。进一步，让\（N（T，\chi）\）表示\（L（s，\chi）\）的复数零的个数\（rho=\beta+i\gamma\），其中\（0<\beta<1，|\gamma|\leq T\），\（N_0（T，\ chi）\]由\（N\)由\（N_0（T，\chi）\）计数的简单零的数量。在本文中，作者证明，除其他外，至少56for（q=1）包括经典Riemann zeta函数（zeta（s））的情况。与之前的记录相比，这是一个重大改进，即41.05[H.M.Bui先生等，《阿里斯学报》。150，第1期，35-64页（2011年；Zbl 1250.11083号)]和S·冯[J.数论132，511-542（2012；Zbl 1333.11086号)]他有41.27英镑。设\（\Psi（x）\）是\（{\mathbb R}^+\）上的一个非负的、光滑的、紧支持的函数。放置\[{mathcal N}（T，Q）=\sum_Q\frac{\Psi（Q/Q）}{\phi（Q）}\sum_{\chi}\，\pmod{Q}^{*}N（T，\chi）\]对于\（Q\geq3\）和\（T\geq3 \），其中\（{}^*\）表示对原始字符的求和。让\（\mathcal{N} _0（0）^{'}（T，Q）表示相同的表达式，但用\（N（T，\chi）。作者的结果，定理1说，对于满足（（log Q）^6leq T\leq（log Q）^A，A\geq 6）常数的（Q）和（T），\[\马查尔{N} _0（0）^{'}（T，Q）\，\geq\，\frac{14}{25}{mathcal N}（T，Q）\qquad（T\geqT_0>0，Q\geqQ_0>0）。\]在附录中，作者阐述了著名的N.莱文森【高级数学13，383–436（1974；兹标0281.10017)]，他表明，超过1/3的\（\ zeta（s）\零点位于临界线上。经过一些修改，这就是本文中使用的方法。作者解释了在证明过程中如何需要对该类型积分进行求值\[I_\chi:=\int|G（\sigma+it，\chi）M（\tfrac12+it，\ chi）|^2，\Phi（t）\，dt。\]光滑函数\（\Phi（t）\）满足某些条件，并且\[G（s，\chi）：=L（s，\ chi）+\lambda L'（s，\schi）\]使用合适的常数\（\lambda\）。“软化器”（M（s，chi））是\[M（s，\chi）：=\sum_{n\leq X}\mu（n）\chi（M）M^{-s}P\左（1-\frac｛\log m｝｛\log X｝\right），\]和\（\mu（\cdot）\）是熟悉的Möbius函数。这里，\（P（x）\）是一个光滑函数，\（P（0）=0\）和\（P⑴\）。定理2冗长且技术性强。它给出了在（chi）和（q）上取平均值的（I_chi）的渐近公式。最后，定理3表示定理1的类似物{德国}_2\)\（L\）-函数和\（\mathrm{德国}_3\)\（L\）-函数。它说，平均35\（\mathrm{德国}_2\)\（L\）-函数简单且位于临界线上，0.5给定的\（\mathrm{德国}_3\)函数很简单，位于临界线上。审核人：Aleksandar Ivić（贝尔格莱德） 引用于12文件 MSC公司： 2006年11月 \（zeta（s）和（L（s，chi）） 11米26 \（zeta（s）\）和\（L（s，chi）\）的非实数零；黎曼和其他假设 关键词：黎曼-泽塔函数;软化剂;临界线上的零;Dirichlet\（L\）-函数 引文：Zbl 1250.11083号;Zbl 1333.11086号;Zbl 0281.10017号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.B.Conrey}等人，J.Reine Angew。数学。681175-198（2013年；兹bl 1357.11070） 全文： 内政部 arXiv公司