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F.布鲁克。;奇亚基奥，F。;梅尔卡多，A。

高斯型乘积测度的等周不等式。 （英语。法语摘要） Zbl 1356.49072号

数学杂志。Pures应用程序。(9) 106，第2期，375-391（2016）.
设（Omega）是\（mathbb R^n）中的Lebesgue可测集，\（C^0（\Omega。给定（Omega）的Borel子集（M\），相对于（Omega\）的（mu\）-周长由下式给出\[P_{\mu}（M，\Omega）=\sup\biggl\{\int_M\text{div}（\varphi v）\，dx；在C^1_0（\Omega，\mathbb R^N）中的v\，|v|\leq 1\biggr\}。\]如果一个可测集（M\subset\Omega）在所有具有固定测度的集（mu（M））中使周长（P_{mu}（M，\Omega\）最小，则称为等周集。
设\（N\geq 2）和\（-\infty\leq a_i\leq b_i\leq+\infty，\；i=1，\cdots，N-1）。假设C^1（A_i，b_i）中的\（A_i\）是满足以下条件的实函数\[A'_i（x）\geq 1；在\；上；（a_i，b_i），\quad\lim_{x\rightarrow a_i+}a_i（x）=-\infty，\qua2\lim_{x\Rightarrowb_i-}a_ i（x。\]
放置\[S’=\prod^{N-1}_{i=1}（a_i，b_i），\quad S=S'\times\mathbb R，\quad\text{和}\；S_{\lambda}=S'\次（\lambda，+\infty）\；\；\文本{if}\；\λ\in\mathbb R。\]
此外，设\（\mu\）为\（S\）上密度的测度\[\varphi（x）=\exp\biggl\{-\sum^{N-1}_{i=1}\压裂{A_i（x_i）^2}{2}-\压裂{x_N^2}{2}\biggr\}\prod^｛N-1｝_{i=1}A'_i（x_i），在S中为四个x。\]
论文的主要结果如下。
定理1。如果\（\lambda\ in \mathbb R\），则\[P_{\mu}（M，S）\geqP_{\μ}（S_{\lambda}，S）\等号{（1）}\]对于（S）的所有Lebesgue可测子集（M），（M）=mu（S_{lambda}）。当且仅当\（M=S_{lambda}\）时，（1）中的等式成立。
作为推论，作者证明了定理1的结论是正确的，如果测度的密度（varphi）由下式给出\[\varphi（x）=\exp\biggl\{-\frac{|x|^2}{2}-\总和^｛N-1｝_｛i=1｝B_i（x_i）\biggr\｝，\ekno｛（2）｝\]其中，在C^2（a_i，B_i）中的\（B_i\）与\（B''_i（x_i）\geq 0\）在\（（a_i，B_i），\；i=1，\cdots，N-1）。
请注意，特定选项\（a_i=0，\；b_i=+\infty，\；b_i（x_i）=-k_i\log x_i，\；k_i\geq 0，\；i=1，\cdots，N-1），给出\[\varphi（x）=\exp\biggl\{-\frac{x|^2}{2}\biggr\}\prod^{N-1}_{i=1}x^{我}我 \]并注意到定理1推广了C.罗莎莱斯【Anal.Geom.Metr.Spaces 2，328–358（2014；Zbl 1304.49096号)].
最后，如果在L^2（G，d\mu）中，（G）是（S）的一个开的连通子集，并且（varphi）由（2）给出，那么作者应用他们的结果证明了边值问题解的先验估计\[-\text{div}（A（x）\nabla u）=\varphi（x）f（x）\；\；\文本{in}\；\；G、，\]
\[u=0\quad\text{on}\；\；\部分G \cap S，\]其中可测对称矩阵（a（x）=（a{ij}（x））满足\[\varphi（x）|\xi|^2\leq a_{ij}（x，\]对于几乎所有的（x在G中）和所有的（xi在mathbb R^N中）。
审核人：博胡米尔奥皮克（普拉哈）

引用于6文件

MSC公司：

2005年第49季度 最小曲面和优化
35J70型 退化椭圆方程
46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理

关键词：

相对等周不等式;Polya-Szegö原理;退化椭圆方程

引文：

Zbl 1304.49096号
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\textit{F.Brock}等人，《数学杂志》。Pures应用程序。（9） 106，第2号，375--391（2016；Zbl 1356.49072）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 阿尔维诺，A。；Trombetti，G.，Sulle migliori costanti di maggiorazione per una classe di equazioni ellittiche degeneri，Ricerche Mat.，27，2，413-428（1978）·Zbl 0403.35027号
[2] Andrews，B。；Ni，L.，Bakry-Emery流形上的特征值比较，Comm.偏微分方程，37，1120821-2092（2012）·Zbl 1258.35153号
[3] Bakry，D。；钱，Z.，通过维数、直径和Ricci流研究特征向量的一些新结果，高等数学。，155, 1, 98-153 (2000) ·Zbl 0980.58020号
[4] Bandle，C.，等周不等式与应用，数学专著与研究，第7卷（1980年），皮特曼（高级出版计划）：皮特曼（高等出版计划），马萨诸塞州波士顿-伦敦·Zbl 0436.35063号
[5] 巴特，F。；比安奇尼，C。；Colesanti，A.，乘积概率测度超平面的等高线和稳定性，Ann.Mat.Pura Appl。(4), 192, 2, 165-190 (2013) ·Zbl 1267.53014号
[6] 贝塔，M.F。；布罗克·F。；Mercaldo，A。；Posteraro，M.R.，关于（R^n）的加权等周不等式及其在重排中的应用，数学。纳赫。，281, 4, 466-498 (2008) ·Zbl 1144.26030号
[7] Bobkov，S.G.，离散立方体上的一个等周不等式，以及高斯空间中等周不等式的初等证明，Ann.Probab。，25, 1, 206-214 (1997) ·Zbl 0883.60031号
[8] Borell，C.，高斯空间中的Brunn-Minkowski不等式，发明。数学。，30, 207-211 (1975) ·Zbl 0292.60004号
[9] Brandolini，B。；Chiacchio，F。；Henrot，A。；Trombetti，C.，高斯空间中的一个最优Poincare Wirtinger不等式，数学。Res.Lett.公司。，20, 3, 449-457 (2013) ·Zbl 1286.35052号
[10] 布罗克·F。；Chiacchio，F。；Mercaldo，A.，一类退化椭圆方程和关于测度的Dido问题，J.Math。分析。申请。，348, 1, 356-365 (2008) ·Zbl 1156.35048号
[11] 布罗克·F。；Chiacchio，F。；Mercaldo，A.，锥中的加权等周不等式及其应用，非线性分析。，75,55737-5755（2012年）·兹比尔1253.26049
[12] 布罗克·F。；Chiacchio，F。；Mercaldo，A.，《一个正值的加权等周不等式》，《潜在分析》。，41, 1, 171-186 (2014) ·Zbl 1303.26024号
[13] 布罗克·F。；Mercaldo，A。；Posteraro，M.R.，关于无穷测度的等周不等式，Rev.Mat.Iberoam。，29, 2, 665-690 (2013) ·Zbl 1386.26038号
[14] Chambers，G.R.，对数凸密度猜想的证明·Zbl 1423.49042号
[15] 卡布雷，X。；Ros-Oton，X.，Sobolev和单项式权重的等周不等式，J.微分方程，255，11，4312-4336（2013）·Zbl 1293.46018号
[16] Caffarelli，L.A.，最优运输的单调性和FKG及相关不等式，Commun。数学。物理。，214, 3, 547-563 (2000) ·Zbl 0978.60107号
[17] 卡伦，E.A。；Kerce，C.，《关于Bobkov不等式和高斯重排中的等式情况》，《计算变量偏微分方程》，13，1，1-18（2001）·Zbl 1009.49029号
[18] Cianchi，A。；富斯科，N。；Maggi，F。；Pratelli，A.，《关于高斯空间中的等周赤字》，美国数学杂志。，133, 1, 131-186 (2011) ·Zbl 1219.28005号
[19] Chong，K.M。；Rice，N.M.，《函数的等量重排》，《纯粹数学和应用数学中的女王论文》，第28卷（1971年），女王大学·Zbl 0275.46024号
[20] 埃哈德，A.，《科学年鉴》，《高等教育与高等教育研究》。埃科尔规范。Sup.（4），17，2，317-332（1984），（法语）·Zbl 0546.49020号
[21] Feo，F。；Posteraro，M.R。；Roberto，C.，对数凸概率测度的定量等周不等式，J.Math。分析。申请。，420, 2, 879-907 (2014) ·Zbl 1311.60025号
[22] Henrot，A.，椭圆算子特征值的极值问题，数学前沿（2006），Birkhäuser Verlag:Birkhäuser Verlag-Basel·兹伯利1109.35081
[23] Henrot，A。；Pierre，M.，《变化与优化形式》。Une analysis géométrique，Mathématiques&Applications，第48卷（2005年），Springer-Verlag:Springer-Verlag Berlin·Zbl 1098.49001号
[24] Kawohl，B.，《PDE中水平集的重排和凸性》，数学课堂讲稿，第1150卷（1985），Springer Verlag:Springer Verlag New York·Zbl 0593.35002号
[25] Kesavan，S.，《对称化与应用，分析丛书》，第3卷（2006年），世界科学出版有限公司：世界科学出版股份有限公司，新泽西州哈肯萨克·Zbl 1110.35002号
[26] Maz'ja，V.G.，Sobolev Spaces（1980），Springer-Verlag
[27] Maderna，C。；Salsa，S.，二维奇异椭圆边值问题解的Sharp估计，应用。分析。，12, 4, 307-321 (1981) ·Zbl 0445.35016号
[28] Rakotoson，J.M。；Simon，B.，测度空间上的相对重排，加权单调重排的正则性应用，I，II，Appl。数学。莱特。，6, 75-78 (1993), 79-82 ·Zbl 0781.49024号
[29] Rosales，C.，高斯测度的对数切摄动的等周和稳定集，Ana。地理。米。空间，2328-358（2014）·Zbl 1304.49096号
[30] 罗莎莱斯，C。；Canete，A。；贝勒，V。；Morgan，F.，关于密度欧几里德空间中的等周问题，Calc.Var.偏微分方程，31，27-46（2008）·Zbl 1126.49038号
[31] 苏达科夫，V.N。；Tsirel’son，B.S.，球不变测度半空间的极值性质，Zap。瑙奇诺。塞姆·列宁格勒。奥特尔。Mat.Inst.Steklov公司。（LOMI），41，14-24（1974）·Zbl 0351.28015号
[32] Talenti，G.，重排不等式的加权版本，Ann.Univ.Ferrara Sez。VII科学。材料，43，121-133（1997）·Zbl 0936.26007号
[33] Taylor，M.E.，偏微分方程，第二卷，线性方程的定性研究，应用。数学。科学。，第116卷（1996年），施普林格：施普林格纽约·Zbl 0869.35003号
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