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阿德里安·布兰切特;何塞·安东尼奥·卡里略;大卫·金德勒;Micha Kowalczyk;菲利普·劳伦索特;Stefano利西尼

关于\（\mathbb｛R｝^｛2｝\）中Keller-Segel系统的一个混合变分原理。 （英语） Zbl 1334.35086号

ESAIM，数学。模型。数字。分析。 49，第6期，1553-1576（2015）.
本文研究经典抛物线Keller-Segel模型在平面上趋化的适定性。经过适当的时间缩放后，偏微分方程组的读数为\[\partial_t\rho=\Delta\rho-\chi\rho\nabla\phi，\quad\tau\partial_t\phi=\Delta \phi-\alpha\phi+\rho\quad_tex{on}（0，\infty）\times\mathbb{R}^2。\]在这个模型中，\（rho（t，x）\）对应于某些微生物的密度，这些微生物倾向于向某一化学引诱剂的高浓度方向移动\（φ（t，x）\）。对于参数，假设\（tau>0）、\（alpha>0）和\（chi\ in（0,8\pi）\）。系统带有初始条件\（\rho_0\in\mathcal{P} _2\)带有\（\rho_0\log\rho_0\ in L^1）和\（\phi_0\ in H^1），其中\（\mathcal{P} _2\)是具有有限二阶矩的（mathbb{R}^3）上的概率测度空间。
本文的主要结果表明，在上述条件成立的情况下，Keller-Segel系统在C^{1/2}（[0，T]；X）中存在一个弱（分布）解。显著的新颖性并不在于结果本身（已经给出了证据[V.卡尔韦斯和L.科里亚斯、Commun。数学。科学。6，第2期，417–447（2008年；Zbl 1149.35360号)])，但在证明策略上：中心点是在混合乘积空间\（X=\mathcal）中开发系统的形式梯度流结构{P} _2\乘以L^2\[d（（\rho，\phi），（\tiled\rho，\tiled_phi）：=\sqrt{\frac1{\chi}d_W（\rho，\tile\rho）^2+\tau\|\phi-\tilde\phi\|_{L^2}^2}\]（L^2）-Wasserstein距离（d_W）为{P} _2\). 相应的自由能函数如下所示\[\mathcal{E}（\rho，\phi）=\int_{\mathbb{R}^2}\left（\frac1\chi}\rho\log\rho-\rho\ phi+\frac12|\nabla\phi|^2+\frac{\alpha}{2}\phi^2\right）dx。\]即使在度量空间\（X\）上\（\mathcal｛E｝\）不具有任何凸性（例如，在测地线上），变分最小化运动方案也是构造这种梯度流类型系统弱解的正确选择。对于Keller-Segel系统及其一些变体，也使用了这种方法，例如[A.布兰切特和劳伦索特博士、Commun。部分差异。等式38，No.4-6，658-686（2013；兹比尔1282.35202)]或[J.Zinsl先生莫纳什。数学。174，第4期，653–679页（2014年；Zbl 1302.35202号)].
在处理具有线性扩散且无约束的经典Keller-Segel模型时，一个主要困难是自由能（mathcal{E}）——以及在该方案中需要最小化的Yosida惩罚——可能从下面是无限的。然而，在小灵敏度（chi-in（0,8\pi））的情况下，作者使用Onofri不等式的变体来规避这个问题：\[\int_{mathbb{R}^2}\exp（\psi）H\，dx\leq\exp\left（\int_{mathbb{R}^2}\psi H，dx+\frac1{16\pi}\int_\mathbb}R}^2{|\nabla\psi|^2，dx\ right）\]对于所有\（H^1中的\ psi\），使用\（H（x）=\pi^{-1}（1+|x|^2）^{-2}）。通常，值\（chi=8\pi\）通常表示解的全局存在性和爆破之间的阈值，例如，在[A.布兰切特等，SIAM J.Numer。分析。46，第2期，691-721（2008年；Zbl 1205.65332号)]或[J.Funct.Anal.262，No.5，2142–2230（2012；Zbl 1237.35155号)].
审核人：Jonathan Zinsl（慕尼黑）

引用于27文件

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关键词：

Keller-Segel模型;梯度流;最小化移动;瓦瑟斯坦距离;弱解

引文：

Zbl 1149.35360号;Zbl 1282.35202号;Zbl 1302.35202号;Zbl 1205.65332号;Zbl 1237.35155号
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\textit{A.Blanchet}等人，ESAIM，数学。模型。数字。分析。49，No.6，1553--1576（2015；Zbl 1334.35086）
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