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J.弗洛雷斯。;C·威布尔。

幺半群方案的Picard群和类群。 （英语） Zbl 1314.14003号

J.代数 415, 247-263 (2014).
作者发展了幺半群格式的Picard群和正规幺半群方案的类群的基本理论。Monoid方案，也称为具有一个元素的域（｛\mathbb F｝_1\）上的方案，由引入K.加藤【《美国数学杂志》第116卷第5期，第1073–1099页（1994年；Zbl 0832.14002号)],A.迪特玛[数学课程239，87–100（2005；邮编1098.14003)]和A.连接和C.康萨尼[J.Algebr.Geom.20，第3期，525–557（2011；Zbl 1227.14006号)]有几个原因。特别是，可以将幺半群方案与每个复曲面簇的扇形相关联。愿意学习一些基本定义和事实的读者可以参考，例如C.楚等【高级数学229，第4期，2239–2286（2012；Zbl 1288.19004号)]和，共G.科尔蒂尼亚斯等人[J.Reine Angew.Math.698，1-54（2015；Zbl 1331.14050号)].
在第一节中，作者研究了Noetherian幺半群中的关联素数和主分解。A类幺半群是一个（乘法写入）交换半群\（a\），具有一个吸收元素和一个单位元素，即具有元素\（0\）和\（1\），使得\（0\cdot a=0\），\（对于所有元素，a\中的a\）。\（A\）的非空子集\（I\）是理想的if\（AI\substeq I\）。在这种情况下，（A/I）表示赋有幺半群结构的集合（（A\set-nus-I）cup\{0}），使得surpject\（pi:A\rightarrow A/I）折叠\（I\）到\（{0}\）是幺半群的一种态射。（A\）的适当理想\（\mathfrak{p}\neqA\）是素理想如果\（S:=A\setminus\mathfrak{p}\）是\（A\）的乘法闭子集。分数的幺半群\（S^{-1}甲\)在本例中，用\（A_{\mathfrak{p}}\）表示。其余的定义与交换环理论中的定义相同，实际上，作者证明了许多结果对交换环有效的类似结果。
在第2节中，作者研究了离散赋值拟群和正规拟群。让我们重复一些定义。幺半群\（A\）是取消的如果\（ab=ac\）和\（a\neq 0\）表示\（b=c\）。在本例中，\（\{0\}\）是\（a\）的素理想，而本地化\（a_{0\{}\）则是组完成第页，共页。可消幺半群是正常的如果\（对于所有\，A_{0\}}\中的\ alpha\），\（对于全部\，n\geq1\），\。例如，作者证明了每一个一维Noetherian正规幺半群都是一个离散赋值幺半群，而Noether正规幺半群是（a{mathfrak{p}}）as（mathfrak{p}）遍历（a\）的所有高度（1）素数的交集。前两部分证明的大多数事实也可以在U.Kobsa（雷根斯堡大学，1996）的文凭论文和[F.哈尔特-科赫，理想系统。乘法理想理论导论。《纯粹与应用数学》，马塞尔·德克尔。211.纽约州纽约市：马塞尔·德克尔（1998；Zbl 0953.13001号)].
在第三部分中，作者构建了归一化的部分取消的幺半群，即形式为\（C/i \）的幺半群的，其中\（C \）是可消幺半群。除非幺半群是可消的，否则这种归一化结果不是幺半群而是幺半群方案让我们回顾一下这样一个对象的定义和一些基本结构，以供以后参考。A类幺半空间是一对\（（X，{mathcal a}）\），其中\（X\）是一个拓扑空间，\（mathcal a）是一组幺半群。如果\（A\）是一个幺半群，\（text{MSpec}（A）\）表示具有\（X\）素数理想集的幺半群空间，具有Zarisk拓扑，并且在素数理想\（X\mathfrak{p}\）处的\（mathcal A\）的茎是\（A_{mathfrak{p}}\）。幺半群方案是一个幺半群空间，局部看起来像一个\（\text{MSpec}（A）\）。如果\（A\）和\（B\）是幺半群，那么\（A\vee B:=A\times\{0\}\cup\{0\}\times B\）就是幺半群的理想（A\times B\）（带分量乘法）。这个破碎积\（A\wedge B\）根据定义是\（A\times B/A\vee B\）。结果是，（text{MSpec}（A\wedge B））是幺半群方案类别中的（text{MSpec}（A））和（text{MSpec{（B））的乘积（它的基础集实际上是（text{mespec}-（A）\times\text{MSpec}-（B）\））。如果\（A=A_0\vee A_1\vee\ldots\vee A_n\vee\\ldots\）是一个\（mathbb n\）分次幺半群（这意味着\（i\neq j\）的\（A_i\cap A_j=\{0\}\）和\（A_ i\cdot A_j\ substeq A_{i+j}\），\（对于所有\，i，j）），则幺半群方案\（\text{MProj}（A）\）定义如下：如果\（\mathfrak{p}\in\text{MSpec}（A_0）\）然后是\（\matchfrak{p}\vee A_1\vee\ldots\vee A_n\vee\\ldots\in\text{MSpec}（A）\），因此可以将\（\text{MSpec{（A_0）\）嵌入到\（\text{MSpec}（A）\）中。然后\（\text{MProj}（A）=（X，\mathcal A）\），其中\（X=\text{MSpec}（A）\setminuse\text{MSpec}（A_0）\）和\（mathcal A\）在一点\（X中的\ mathfrak{p}\）的柄是\（A_{mathfrack{p}）的度\（0）部分。
在第4节中，作者定义Weil除数在正规幺半群方案\（X\）上。他们将\（\text｛Div｝（X）\）定义为\（X\）的高度\（1\）点生成的自由阿贝尔群，将\（\text｛Cl｝（X）\）定义为\（\text｛Div｝（X）\）与主因子例如，它们显示\（\text{Cl}（X\times Y）=\text{Cl}（X）\times\text{CI}（Y）\）。
在第五部分中，作者研究了皮卡德集团\幺半群方案（X）上可逆带轮的同构类。让我们回顾一下\（X，\ mathcal a）\上的\（mathcal a\）-集的定义。如果\（A\）是单半群，那么\（A\）-设置是一个点集\（M\），带有基点\（*\），以及一个映射\（θ：a\乘以M\右箭头M\）\[（ab）\ cdot m=a \ cdot（b \ cdot m）\，\；1\cdot m=m\，\；0\cdot m=*\，\；a\cdot*=*\。\]如果\（M\）和\（N\）是\（A\）-集，那么\（M\wedget_A N\）就是\（（A\cdot M，N）\sim（M，A\cdotn）\）、\（A\ in A\）、\（M\ in M\）、（N\ in N\）生成的等价关系的商。这种等价关系与\（A\）对\（M\乘以N\）的对角线作用相容，因此\（M\wedge_AN\）具有\（A\-集的自然结构。它是张量积的类似物。现在，（X，mathcal A）上的可逆层是（mathcal A\）-集局部同构于（mathcal-A\）的层。具有张量积定义的运算的X上可逆带轮的同构类的集合是一个群。例如，作者证明了\（text{Pic}（\text{MSpec}，A）=0\）和\（text{Pic{（X\times{mathbb A}^1）\simeq\text{Picneneneep（X）\）。这里的（{mathbbA}^1）是幺半群（{T^n，|\，n\in{mathbb n}}\cup\{0}\）的（text{MSpec}\）。
在第六节中，作者证明了如果（X）是一个分离连通的局部阶乘幺半群方案，则（X）上的每个Weil除数都是一个Cartier除数，并且（text{Pic}（X）=\text{Cl}（X））。它们还表明，（\text{Pic}（{mathbbP}^n）={mathbb Z}），其中（{matHBbP}^n）是分级幺半群（{T_0^{a_0}\ldotsT_n^{a_n}\，|\，a_0，\ldots，a_n\ in{mathbb-n}\}\cup\{0}\）的（text{MProj}\）。
在最后一节中，作者证明了关于部分可消幺半群方案的Picard群的一些结果并给出了一些反例。
审核人：伊乌斯汀·科兰德（布库雷什蒂）

引用于1审查
引用于14文件

MSC公司：

14甲15 模式和形态
14C20型 分配器、线性系统、可逆滑轮
14C22型 皮卡德集团
14米25 双曲面、牛顿多面体、Okounkov体
2014年11月20日 交换半群
20立方米 代数幺半群
14国集团15 代数几何中的有限地面场

关键词：

幺半群;幺半群方案;皮卡德集团;乘法理想理论;班级

引文：

Zbl 0832.14002号;邮编1098.14003;Zbl 1227.14006号;Zbl 1288.19004号;Zbl 0953.13001号;Zbl 1331.14050号
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\textit｛J.Flores｝和\textit｛C.Weibel｝，《代数》415247--263（2014；兹比尔1314.14003）
全文： 内政部 arXiv公司

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