安德烈·杜杰拉;胡安·卡洛斯·佩拉尔 椭圆曲线来自Heron三角形。 (英文) Zbl 1305.14017号 落基山J.数学。 44,第4期,1145-1160(2014). Heron三角形是具有有理边\(a)、\(b)、\和有理面积\(Q)的三角形。描述Heron三角形的四元组((A,b,c,Q)可以按以下方式参数化\[(*)开始{cases}a=n(k^2+m^2);\\b=m(k^2+n^2)\;\c=(m+n)(mn-k^2)\;\Q=kmn(m+n)(mn-k^2)\结束{案例}\]对于某些正整数\(k),\(m),\。对于Heron三角形,可以联想到椭圆曲线\[E_{(a,b,c)}\,:\,y^2=(x+ab)(x+ac)(x+bc)\]其秩超过\(\mathbb{Q}\)至少为2。作者将(E_{(a,b,c)}变换为(y^2=x^3+Ax^2+Bx)型曲线,并根据参数化(*)写入(a\)和(b\)。然后,通过对参数施加一些条件,他们能够找到秩至少为3、4或5的显式曲线族(以及相应的三角形):例如,为了得到(-mn(1+m^2)(-2+mn)(1+n^2)作为(y^2=x^3+Ax^2+Bx)上一点的(x)坐标,他们找到了替换(m=frac{2}{n(1+/omega^2)}\)(对于一个新参数\(\omega \),它最终描述了秩至少为3的族)。然后,作者证明了新发现的有理点的独立性,并(使用由Mestre-Nagao和产生的筛选方法和用mwrank公司)通过专门化秩5族中的参数,提供秩9和10曲线的明确示例。审核人:安德烈亚·班迪尼(帕尔马) 引用于1审查引用于10文件 MSC公司: 14H52型 椭圆曲线 11G05号 全局场上的椭圆曲线 关键词:椭圆曲线的秩;苍鹭三角形 软件:PARI/GP公司;电子数据;mwrank公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Dujella}和\textit{J.C.Peral},洛基山J.数学。44,第4号,1145--1160(2014;Zbl 1305.14017) 全文: 内政部 欧几里得 参考文献: [1] J.Aguirre、A.Dujella和J.Peral,《关于有理丢番图三元组椭圆曲线的秩》,《落基山数学杂志》。42 (2012), 1759-1776. ·Zbl 1293.11074号 ·doi:10.1216/RMJ-2012-42-6-1759 [2] A.Bremner,《论Heron三角形》,Ann,《数学》。通知。33 (2006), 15-21. ·Zbl 1135.11315号 [3] R.H.Buchholz和R.L.Ratbun,具有两个有理中位数的无限Heron三角形集,Amer。数学。月份。104 (1997), 107-115. ·Zbl 0873.11022号 ·doi:10.2307/2974977 [4] G.Campbell和E.H.Goins,Heron三角形,丢番图问题和椭圆曲线, [5] J.Cremona,模椭圆曲线的算法,剑桥大学出版社,剑桥,1997年·Zbl 0872.14041号 [6] A.Dujella,关于Diophantine三元组诱导的椭圆曲线的Mordell-Weil群,Glas。材料42(2007),3-18·Zbl 1137.11038号 ·doi:10.3336/gm.42.1.01 [7] --《丢番图三元组与带三个非平凡扭点的高阶椭圆曲线的构造》,《落基山数学杂志》。30 (2000), 157-164. ·Zbl 0989.11032号 ·doi:10.1216/rmjm/1022008982 [8] --《丢番图元组和椭圆曲线》,J.Th.Nomb。《波尔多》13(2001),111-124·Zbl 1046.11034号 ·doi:10.5802/jtnb.308 [9] A.Dujella和J.C.Peral,Diophantine三元组诱导的高阶扭转椭圆曲线。数学。17 (2014), 282-288. ·兹比尔1293.11075 ·doi:10.1112/S14615701400023 [10] L.E.Dickson,《数论史》,卡内基研究所,华盛顿,1919年。 [11] N.J.Fine,关于有理三角形,Amer。数学。月份。83 (1976), 517-521. ·Zbl 0341.10016号 ·doi:10.2307/2319348 [12] E.H.Goins和D.Maddox,通过椭圆曲线的Heron三角形,《落基山数学杂志》。36 (2006), 1511-1526. ·Zbl 1137.11039号 ·doi:10.1216/rmjm/1181069379 [13] I.Gusić和P.Tadić,关于专门化同态的内射性的一个注记,Glas。材料47(2012),265-275·兹比尔1300.11060 [14] F.A.Izadi、F.Khoshnam和K.Nabardi,由Heron三角形产生的一类新的正秩椭圆曲线,预印本,arXiv:·Zbl 1294.11089号 [15] A.V.Kramer和F.Luca,关于Heron三角形的一些结果,Acta Acad。佩德。年龄。26 (2000), 1-10. ·Zbl 1062.11019号 [16] R.van Luijk,与Heron三角形相关的椭圆(K3)曲面,J.Num.Theor。123 (2007), 92-119. ·Zbl 1160.14029号 ·doi:10.1016/j.jnt.2006.06.006 [17] J.-F.Mestre,《公共建筑》(Construction de courbes elliptiques sur)(mathbb{Q})de rang(geq 12),C.R.Acad。科学。巴黎295(1982),643-644·Zbl 0541.14027号 [18] K.Nagao,秩为(geq 20)的(mathbb{Q})上椭圆曲线的一个例子,Proc。日本科学院。数学。科学。69 (1993) 291-293. ·兹伯利0794.14014 ·doi:10.3792/pjaa.69.291 [19] PARI/GP,2.4.0版,波尔多,2008年,http://pari.math.u-bordeaux.fr。 [20] D.J.Rusin,等面积有理三角形,纽约数学杂志。4 (1998) 1-15. ·Zbl 0893.11009号 [21] J.H.Silverman,椭圆曲线算法的高级主题,Springer-Verlag,纽约,1994年·Zbl 0911.14015号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。