菲奥拉巴·卡科尼;大卫·科尔顿 逆散射理论的定性方法。 （英语） Zbl 1302.35001号 应用数学科学188.纽约州纽约市：施普林格出版社（ISBN 978-1-4614-8826-2/hbk；978-1-461/8827-9/电子书）。x、 297页。(2014). 这本专著在经典积分方程方法的框架内介绍了逆散射理论的思想，并打算作为这一特定研究领域的（高级）介绍性文本。动机的出发点是电磁场的散射。然而，为了更容易理解逆散射的一些核心思想，假设散射体是无限长圆柱体，通过对材料和入射方向的适当假设，将讨论简化为二维椭圆型微分算子的设置，形式为\（-\nabla\cdot a\nabla-\kappa^{2} n个\)具有一致严格正定的（A）A（2次2）-矩阵值函数和（n）严格正标量函数，（kappa in mathbb{R}）。然后，基本几何可以用一个紧曲面（S）来描述，该紧曲面是有界开集（D）的光滑边界流形（D部分），即圆柱形散射体的横截面。我们将此横截面称为内域（S_{-}）。（S_{-}:=D\）的补码将被称为外部域\（S_{+}:=\mathbb{R}^{2}\setminus\上划线{D}\）。在调整使用积分方程处理无界外区域时，假定（A{+}:=A{|S_{+}}）和（n_{+}：=n_{|S_}+}}\）等于1。因此，第3章和第4章中考虑的外部边值问题简化为\[-\nabla\cdot\nabla u{+}=k^{2} u个_{+}\;\;\文本{in}\；S_{+}=\mathbb{R}^{2}\setminus\overline{D}。\]在\（S_{+}\）的边界处，形式为\[\nu\cdot\nabla u｛+｝+\mathrm｛i｝\lambda u｛+｝=g\；\；\文本{on}\；S=\部分S_{\pm}=\部分D\]是强加的。这里，（lambda）是阻抗函数，（nu）是指向（S）的外部法线，即指向（S_{+}），而（S）上的（nu cdot nabla u{+}\）是从（S_{+/}\）这类项的连续延伸意义上理解的。例如，数据（g）由入射波确定。对于\（k\in\mathbb{R}\），必须施加Sommerfeld型辐射条件：\[\sqrt{\left|x\right|}\left（\frac{x}{\left | x\right |}\cdot A{+}\nabla u{+}\ left（x\rift）-\mathrm{i}\，ku{+}\left\]作为\（\left|x\right|\to\infty\）。第3章侧重于解决这个边值问题（直接问题），而第4章则讨论了从无穷远解（远场数据）的渐近行为（即反问题）中近似恢复障碍物形状（S_｛-｝）和阻抗（λ）的问题。在这些章节之前的基础章节1和2收集了关于算子、Sobolev空间和不适定问题正则化的泛函分析的资料，这些问题就是逆散射问题。在第5章和第6章中，讨论的重点是传输问题。在这种情况下，我们在\（\mathbb{R}^{2}\setminus S\）中使用\（A_{pm}:=A_{|S_{pm}}\），\[-\nabla\cdot A_{\pm}\nabla u_{\pm}=k^{2} n个_{\pm}u{\pm{；\文本{in}\；S_{\pm}。\]对于外域部分，同样需要索末菲辐射条件：\[\sqrt{\left|x\right|}\left（\frac{x}{\left | x\right |}\cdot A{+}\nabla u{+}\ left（x\rift）-\mathrm{i}\，ku{+}\left\]作为\（\left|x\right|\to\infty\）。在接口上，所谓的传输条件\[u{+}-u{-}=f\；\；\文本{on}\；S中，\]\[\nu\cdot A{+}\nabla u{+}-\nu\cdotA{-}\nablau{-}=g\；\；\文本{on}\；S公司\]（回想一下一般的假设（A{+}=1），（n{+}=1））。这里，数据（f，g）可以解释为由入射波引起。第5章是关于解决这个传输问题（并获得其远场模式；直接问题），这涉及到将外部区域的积分方程方法与内部区域的变分方法耦合起来。在接下来的第6章中，再次讨论了从远场数据中近似恢复障碍物的逆问题（逆问题）。这里发现远场行为与所谓的内部传输问题密切相关。这是通过将外部域替换为\（D\）的另一个副本，从而使\（S_{+}=S_{-}=D\），从上述传输问题中正式获得的问题。第7章讨论了Kirsch因子分解法，它是一种改进的替代方法，用于近似障碍物恢复。第8章首先回到阻抗型边界条件的外部边值问题的初始主题，增加了在部分边界上规定狄利克雷数据的复杂性（混合边值问题）。然后，将讨论扩展到变速器壳体。在本章的最后几节中，讨论扩展到包括所谓的裂纹问题。这里，（A{\pm}=1），（n_{\pm{=1）裂纹实际上是界面（S）的一部分（Gamma），这里没有施加均匀传输条件。相反，需要在（Gamma）（Dirichet裂纹）上指定解（u=u{pm}）或在（Gamma）上指定阻抗边界项（nu\cdot\nabla u{+}+\mathrm{i}\lambda u{+{}）。在这种情况下，也解决了正问题和反问题。第9章讨论了球对称情况下的传输特征值问题。这导致简化为一维情况，并允许非常明确地考虑正问题和逆问题。最后，第10章对如何处理更复杂的三维电磁场散射情况进行了展望和参考。这本专著可以作为散射理论积分方程方法基本组成部分的集中记录，并且能够为电磁散射领域的大量复杂文献打开大门。审核人：Rainer Picard（德累斯顿） 引用于120文件 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 第35页 偏微分方程的散射理论 35兰特 偏微分方程的逆问题 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 47A40型 线性算子的散射理论 2005年第45季度 积分方程的反问题 78A45型 衍射、散射 78A46型 光学和电磁理论中的逆问题（包括逆散射） 关键词：散射理论;反问题;亥姆霍兹方程;外部边值问题;外部传输问题;声散射;电磁散射;线性抽样法;因子分解法;内部传输问题;传输特征值问题 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.Cakoni}和\textit{D.Colton}，反散射理论的定性方法。纽约州纽约市：施普林格（2014；Zbl 1302.35001） 全文： 内政部