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李赞坤

3-Selmer秩为1的椭圆曲线的二次扭曲。 （英语） Zbl 1297.14037号

国际数论 10，第5期，1191-1217（2014）.
设（E）是定义在（mathbb{Q}）上的椭圆曲线，对于任何非零无平方整数（d），设（E^{（d）}是相关的二次扭曲。猜想的（弱）形式D.戈德菲尔德【in：数论，Proc.Conf.，Carbondale 1979，Lect.Notes Math.751，108–118（1979；Zbl 0417.14031号)]声明对于固定的\（E\），\（E^｛（d）｝\）的正比例的秩比\（\mathbb｛Q｝\）高1。本文提供了关于（E）和（d）的条件，假设Birch和Swinnerton-Dyer猜想，得到（text{rank}（E^{（d）}）=1），并给出了4个无穷族椭圆曲线的例子来验证这些条件。
证明依赖于3-Selmer群的计算{选择}_3（E ^｛（d）｝/\mathbb｛Q｝）\）。一些（E'中的P'（mathbb{Q}）[3]-{O}，）和（d）（3不除（mathbb{Q}（sqrt{d}））的类数和模坏约化素数的一系列同余）的（E）（半稳定性，坏约化类型和（E）的假设被用来减少（mathbb{选择}_3（E^{（d）}/\mathbb{Q}）\）到在3之外未分类的某些上同调类之一（或处处未分类）。此外，如果根数（ω（E^{（d）}）是（-1），并且（E^}（d{选择}_3（E^{（d）}/\mathbb{Q}）=3），并假设Birch和Swinnerton-Dyer猜想，即（text{rank}。对于同余，条件为正比例\（d）的事实是显而易见的，并且由Nakagawa-Horie估计值保证（参见J.中川和K.霍利[《美国数学学会学报》104，第1期，第20–24页（1988年；Zbl 0663.14023号)])对于类数为素数为3的二次域，剩余条件为。
最后一部分提供了4个类型的族\[E_{m，n}\；：\；y^2+xy=x^3+H（m，n）x+J（m，n）\]对于（m=1）、7、13和19（第3节明确给出了（n）、（H（m，n）和（J（m，n）的公式），它们验证了无穷多（n）的所有条件。实际上，作者从14个\（m）值开始，并限制为上面的4个值，只为了确保最终条件\（\omega（E^{（d）}）=-1\）。
审核人：安德烈亚·班迪尼（帕尔马）

引用于1文件

理学硕士：

14H52型 椭圆曲线
11克05 全局场上的椭圆曲线

关键词：

戈德菲尔德猜想;椭圆曲线;二次扭转;Selmer组

引文：

Zbl 0417.14031号;Zbl 0663.14023号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{Z.K.Li}，《国际数论》10，第5期，1191--1217（2014；Zbl 1297.14037）
全文： 内政部 arXiv公司

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